Considere um ião de impureza, de carga +e, num condutor com a concentração média de eletrões na banda de condução n_{0}. Os eletrões produzem o efeito de blindagem do ião, isto é, a concentração local dos eletrões na vizinhança do ião é ligeiramente superior à média. Devido a este efeito, o potencial elétrico criado pelo ião decai mais rapidamente com a distância do que o potencial Coulombiano. Mostre que o potencial do ião é dado pela expressão:
onde \varepsilon_{0} é a constante dielétrica do cristal (também pode ser chamada a constante dielétrica de fundo) e L_{D} é um parâmetro chamado o comprimento de blindagem ou comprimento de Debye. Obtenha a expressão para o comprimento de Debye.
Dica. Levando em conta a carga local atraída pelo ião, a equação de Poisson para o potencial eléctrico na vizinhança do ião é:
Admita que os eletrões podem ser descritos pela função de distribuição de Boltzmann (gás eletrónico não degenerado) e que a perturbação ao potencial elétrico devido à presença do ião é pequena, o que permite linearizar a equação de Poisson, n(\boldsymbol{r})= n_{0} \exp \left(\frac{e \varphi(\boldsymbol{r})}{k_{B} T}\right) \approx n_{0}\left(1+\frac{e \varphi(\boldsymbol{r})}{k_{B} T}\right).
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
Dá-se um ião pontual de carga +e num cristal (meio dielétrico) com constante dielétrica de fundo \varepsilon_{0}.
A concentração média de electrões na banda de condução é n_{0}.
Os electrões respondem ao potencial do ião, acumulando-se ligeiramente na sua vizinhança; essa resposta é descrita pela distribuição de Boltzmann para um gás electrónico não degenerado.
É fornecida a equação de Poisson (com a indicação da carga local atraída pelo ião):
Obter a expressão do comprimento de blindagem (comprimento de Debye) L_{D}.
Passo 2
Interpretação física e escrita correcta da equação de Poisson com densidade de carga:
A densidade de carga total local é a carga do ião pontual menos a carga dos electrões excitados: \rho(\boldsymbol r)=e\,\delta(\boldsymbol r)-e\bigl(n(\boldsymbol r)-n_{0}\bigr).
Assim a equação de Poisson, escrita explicitamente com o factor e, é
Explicação curta: o termo com \delta(\boldsymbol r) representa a carga pontual do ião; o termo n(\boldsymbol r)-n_{0} é a variação local do número de electrões (multiplicada por e dá a densidade de carga eletrónica local adicional).
Passo 3
Aplicar a linearização de Boltzmann e substituir na Poisson:
Pela condição física de que o potencial deve permanecer finito e tender a 0 quando r\to\infty, o termo com e^{\kappa r} diverge e portanto B=0. Assim
\varphi(r)=\frac{A\,e^{-\kappa r}}{r}\qquad(r>0).
Passo 5
Determinar a constante A impondo a condição imposta pela fonte delta (condição de normalização):
Integramos a equação de Poisson sobre uma pequena esfera de raio \eta centrada na origem e depois fazemos \eta\to0. A integral do lado esquerdo dá, pela identidade de Gauss,
o primeiro termo dá -\dfrac{4\pi e}{\varepsilon_{0}} (porque \int\delta(\boldsymbol r)\,dV=1); o segundo termo é proporcional a \int_{V}\varphi\,dV e, como estamos a tomar \eta\to0, essa contribuição tende a zero (pois \varphi não é singular mais forte do que 1/r e o volume vai para zero). Logo, para \eta\to0,
Agora usar a forma assintótica de \varphi quando r é muito pequeno: de \varphi(r)\approx A/r para r\to0, tem-se \partial\varphi/\partial r\approx -A/r^{2}. Substituindo,
Observação sobre validade: a linearização usada exige \dfrac{e\varphi}{k_{B}T}\ll1. Fisicamente isto significa que a energia electrostática típica e\varphi é pequena em comparação com a energia térmica k_{B}T; em regimes onde isto não vale, a forma exponencial acima deixa de ser rigorosa.