Considere um ião de impureza, de carga +e, num condutor com a concentração média de eletrões na banda de condução n_{0}. Os eletrões produzem o efeito de blindagem do ião, isto é, a concentração local dos eletrões na vizinhança do ião é ligeiramente superior à média. Devido a este efeito, o potencial elétrico criado pelo ião decai mais rapidamente com a distância do que o potencial Coulombiano. Mostre que o potencial do ião é dado pela expressão:
\varphi(\boldsymbol{r})=\frac{e}{\varepsilon_{0} r} \exp \left(-r / L_{D}\right)
onde \varepsilon_{0} é a constante dielétrica do cristal (também pode ser chamada a constante dielétrica de fundo) e L_{D} é um parâmetro chamado o comprimento de blindagem ou comprimento de Debye. Obtenha a expressão para o comprimento de Debye.
Dica. Levando em conta a carga local atraída pelo ião, a equação de Poisson para o potencial eléctrico na vizinhança do ião é:
\nabla^{2} \varphi=-\frac{4 \pi}{\varepsilon_{0}}\left[\delta(\boldsymbol{r})-\left(n(\boldsymbol{r})-n_{0}\right)\right]
Admita que os eletrões podem ser descritos pela função de distribuição de Boltzmann (gás eletrónico não degenerado) e que a perturbação ao potencial elétrico devido à presença do ião é pequena, o que permite linearizar a equação de Poisson, n(\boldsymbol{r})= n_{0} \exp \left(\frac{e \varphi(\boldsymbol{r})}{k_{B} T}\right) \approx n_{0}\left(1+\frac{e \varphi(\boldsymbol{r})}{k_{B} T}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dá-se um ião pontual de carga +e num cristal (meio dielétrico) com constante dielétrica de fundo \varepsilon_{0}.
  • A concentração média de electrões na banda de condução é n_{0}.
  • Os electrões respondem ao potencial do ião, acumulando-se ligeiramente na sua vizinhança; essa resposta é descrita pela distribuição de Boltzmann para um gás electrónico não degenerado.
  • É fornecida a equação de Poisson (com a indicação da carga local atraída pelo ião):
\nabla^{2}\varphi=-\frac{4\pi}{\varepsilon_{0}}\left[\delta(\boldsymbol r)-\bigl(n(\boldsymbol r)-n_{0}\bigr)\right].
  • Admite-se a linearização válida quando a perturbação do potencial é pequena:
n(\boldsymbol r)=n_{0}\exp\!\left(\frac{e\varphi(\boldsymbol r)}{k_{B}T}\right)\approx n_{0}\left(1+\frac{e\varphi(\boldsymbol r)}{k_{B}T}\right).
O que se pede:
  • Mostrar que o potencial fica reduzido (blindado) e tem a forma
\varphi(\boldsymbol r)=\frac{e}{\varepsilon_{0}r}\exp\!\left(-\frac{r}{L_{D}}\right),
  • Obter a expressão do comprimento de blindagem (comprimento de Debye) L_{D}.

Passo 2

Interpretação física e escrita correcta da equação de Poisson com densidade de carga:
  • A densidade de carga total local é a carga do ião pontual menos a carga dos electrões excitados: \rho(\boldsymbol r)=e\,\delta(\boldsymbol r)-e\bigl(n(\boldsymbol r)-n_{0}\bigr).
  • Assim a equação de Poisson, escrita explicitamente com o factor e, é
\nabla^{2}\varphi(\boldsymbol r)=-\frac{4\pi}{\varepsilon_{0}}\Bigl[e\,\delta(\boldsymbol r)-e\bigl(n(\boldsymbol r)-n_{0}\bigr)\Bigr].
Explicação curta: o termo com \delta(\boldsymbol r) representa a carga pontual do ião; o termo n(\boldsymbol r)-n_{0} é a variação local do número de electrões (multiplicada por e dá a densidade de carga eletrónica local adicional).

Passo 3

Aplicar a linearização de Boltzmann e substituir na Poisson:
  • Usando a aproximação dada,
n(\boldsymbol r)-n_{0}\approx n_{0}\frac{e\varphi(\boldsymbol r)}{k_{B}T}.
  • Substituindo este resultado em Poisson obtemos
\nabla^{2}\varphi(\boldsymbol r)=-\frac{4\pi e}{\varepsilon_{0}}\left[\delta(\boldsymbol r)-n_{0}\frac{e\varphi(\boldsymbol r)}{k_{B}T}\right].
  • Rearranjando os termos para colocar os termos em \varphi no lado esquerdo:
\nabla^{2}\varphi(\boldsymbol r)-\underbrace{\frac{4\pi e^{2}n_{0}}{\varepsilon_{0}k_{B}T}}_{=\kappa^{2}}\varphi(\boldsymbol r)=-\frac{4\pi e}{\varepsilon_{0}}\,\delta(\boldsymbol r).
Definimos \kappa^{2}=\dfrac{4\pi e^{2}n_{0}}{\varepsilon_{0}k_{B}T}. Esta equação é uma equação de Helmholtz com fonte delta.

Passo 4

Resolver a equação para r>0 assumindo simetria esférica:
  • Pelo problema de um ião pontual a solução será radial: \varphi(\boldsymbol r)=\varphi(r) com r=|\boldsymbol r|.
  • O Laplaciano radial em coordenadas esféricas para uma função radial é
\nabla^{2}\varphi=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d\varphi}{dr}\right).
  • Para r>0 (ou seja, fora da singularidade do delta) a equação homogénea é
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d\varphi}{dr}\right)-\kappa^{2}\varphi=0.
  • Uma mudança útil é considerar u(r)=r\varphi(r). Então a equação transforma-se em
\frac{d^{2}u}{dr^{2}}-\kappa^{2}u=0,
cuja solução geral é
u(r)=A\,e^{-\kappa r}+B\,e^{\kappa r}.
  • Voltando para \varphi:
\varphi(r)=\frac{A\,e^{-\kappa r}+B\,e^{\kappa r}}{r}.
  • Pela condição física de que o potencial deve permanecer finito e tender a 0 quando r\to\infty, o termo com e^{\kappa r} diverge e portanto B=0. Assim
\varphi(r)=\frac{A\,e^{-\kappa r}}{r}\qquad(r>0).

Passo 5

Determinar a constante A impondo a condição imposta pela fonte delta (condição de normalização):
  • Integramos a equação de Poisson sobre uma pequena esfera de raio \eta centrada na origem e depois fazemos \eta\to0. A integral do lado esquerdo dá, pela identidade de Gauss,
\int_{V}\nabla^{2}\varphi\,dV=\oint_{S}\frac{\partial\varphi}{\partial r}\,dS=4\pi\eta^{2}\left.\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right|_{r=\eta}.
  • Integrando o lado direito da equação completa
\int_{V}\left[-\frac{4\pi e}{\varepsilon_{0}}\delta(\boldsymbol r)+\frac{4\pi e^{2}n_{0}}{\varepsilon_{0}k_{B}T}\varphi(\boldsymbol r)\right]dV
o primeiro termo dá -\dfrac{4\pi e}{\varepsilon_{0}} (porque \int\delta(\boldsymbol r)\,dV=1); o segundo termo é proporcional a \int_{V}\varphi\,dV e, como estamos a tomar \eta\to0, essa contribuição tende a zero (pois \varphi não é singular mais forte do que 1/r e o volume vai para zero). Logo, para \eta\to0,
4\pi\eta^{2}\left.\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right|_{r=\eta}\xrightarrow{\eta\to0}-\frac{4\pi e}{\varepsilon_{0}}.
  • Agora usar a forma assintótica de \varphi quando r é muito pequeno: de \varphi(r)\approx A/r para r\to0, tem-se \partial\varphi/\partial r\approx -A/r^{2}. Substituindo,
4\pi\eta^{2}\left(-\frac{A}{\eta^{2}}\right)=-4\pi A=-\frac{4\pi e}{\varepsilon_{0}}.
  • Assim obtemos A=\dfrac{e}{\varepsilon_{0}}.

Passo 6

Escrever a solução final e identificar o comprimento de Debye:
  • Substituindo A na solução radial obtemos
\varphi(r)=\frac{e}{\varepsilon_{0}r}\,e^{-\kappa r}.
  • Lembrando a definição de \kappa,
\kappa^{2}=\frac{4\pi e^{2}n_{0}}{\varepsilon_{0}k_{B}T},
definimos o comprimento de Debye L_{D} como L_{D}=1/\kappa. Portanto
L_{D}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}k_{B}T}{4\pi e^{2}n_{0}}}.
  • Observação sobre validade: a linearização usada exige \dfrac{e\varphi}{k_{B}T}\ll1. Fisicamente isto significa que a energia electrostática típica e\varphi é pequena em comparação com a energia térmica k_{B}T; em regimes onde isto não vale, a forma exponencial acima deixa de ser rigorosa.

Resposta

\varphi(\boldsymbol{r})=\dfrac{e}{\varepsilon_{0}r}\exp\!\left(-\dfrac{r}{L_{D}}\right)\n
L_{D}=\sqrt{\dfrac{\varepsilon_{0}k_{B}T}{4\pi e^{2}n_{0}}}

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