Um gás ideal experimenta uma compressão adiabática de
,
para
kPa e
. a)( 0,5 ) Calcule o valor de
. b)
Determine a temperatura final. c)
Quantos moles de gás estão presentes? d)( 0,5 ) Qual a energia cinética de translação total por mol, antes e após a compressāo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tomei estes valores do enunciado).
Dados iniciais (estado 1):
-
. -
. -
.
Dados finais (estado 2):
-
. -
.
O enunciado pede:
(a) Calcular o valor de (constante adiabática).
(b) Determinar a temperatura final .
(c) Determinar o número de mols presentes.
(d) Calcular a energia cinética de translação total por mol, antes e depois da compressão.
(a) Calcular o valor de
(b) Determinar a temperatura final
(c) Determinar o número de mols
(d) Calcular a energia cinética de translação total por mol, antes e depois da compressão.
Observação numérica inicial importante (converter temperatura para Kelvin):
Passo 2
Determinar
a partir da relação adiabática
constante.
Teoria rápida e fórmula que vamos usar:
- Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale
- Reescrevendo,
- Portanto
Aqui
é o logaritmo natural; a equação vem de aplicar log em ambos os lados.
Aplicando os números (atenção: unidades de pressão podem ser kPa enquanto a razão é adimensional):
Calculemos os logaritmos:
Logo
Interpretação rápida:
.
Passo 3
Determinar a temperatura final
usando a relação adiabática entre
e
.
Teoria e fórmula usada:
- Para adiabática reversível de gás ideal vale também
portanto
Aqui
está em Kelvin;
é o expoente que encontramos no passo anterior.
Cálculo:
- Primeiro calculemos
:
- Já sabemos
. Então
Para calcular isso, uso logaritmo:
do fator é
. Assim o fator é
.
- Finalmente
Converter para graus Celsius (se quiser):
Passo 4
Determinar o número de mols
usando a equação dos gases ideais.
Teoria e fórmula:
- Equação dos gases ideais (uma forma útil)
onde
é pressão em pascal,
volume em
,
número de mols,
constante dos gases
, e
em Kelvin.
- Podemos usar o estado 1 para calcular
:
Cálculo (atenção às unidades: converter kPa para Pa se fizer produto numérico direto):
Produto no numerador:
Denominador:
Portanto
Verificação rápida (checar com o estado 2):
dá valor muito próximo, confirmando consistência.
Passo 5
Energia cinética de translação total por mol antes e após a compressão.
Teoria e fórmula:
- A energia cinética de translação média por partícula (num gás ideal tridimensional) é
, onde é a constante de Boltzmann. - Por mol, multiplicando por
(ou substituindo ), a energia de translação por mol é
Então basta usar
e
.
Cálculo antes (estado 1):
Arredondando:
Cálculo após (estado 2):
Arredondando:
Comentário pedagógico curto: a energia de translação por mol cresce na mesma proporção que a temperatura absoluta (porque é proporcional a
). Como a compressão foi adiabática,
aumentou e, portanto, a energia translacional por mol também aumentou.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)