(2,0) Um gás ideal experimenta uma compressão adiabática de p=122 \mathrm{kPa}, V=10,7 m^{3}, T=-23^{\circ} C para p=1450 kPa e V=1,36 m^{3}. a)( 0,5 ) Calcule o valor de \gamma. b) (0,5) Determine a temperatura final. c) (0,5) Quantos moles de gás estão presentes? d)( 0,5 ) Qual a energia cinética de translação total por mol, antes e após a compressāo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tomei estes valores do enunciado).
Dados iniciais (estado 1):
  • p_1 = 122\\ \mathrm{kPa}.
  • V_1 = 10,7\\ \mathrm{m^3}.
  • T_1 = -23^\circ\mathrm{C}.
Dados finais (estado 2):
  • p_2 = 1450\\ \mathrm{kPa}.
  • V_2 = 1,36\\ \mathrm{m^3}.
O enunciado pede:
(a) Calcular o valor de \gamma (constante adiabática).
(b) Determinar a temperatura final T_2.
(c) Determinar o número de mols n presentes.
(d) Calcular a energia cinética de translação total por mol, antes e depois da compressão.
Observação numérica inicial importante (converter temperatura para Kelvin):
  • T_1 = -23^\circ\mathrm{C} = -23 + 273{,}15 = 250{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Determinar \gamma a partir da relação adiabática p V^{\gamma}= constante.
Teoria rápida e fórmula que vamos usar:
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale
p_1 V_1^{\gamma} = p_2 V_2^{\gamma}.
  • Reescrevendo,
\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}.
  • Portanto
\gamma = \frac{\ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)}.
Aqui \ln é o logaritmo natural; a equação vem de aplicar log em ambos os lados.
Aplicando os números (atenção: unidades de pressão podem ser kPa enquanto a razão é adimensional):
\frac{p_2}{p_1}=\frac{1450}{122}\approx 11{,}885, \qquad \frac{V_1}{V_2}=\frac{10{,}7}{1{,}36}\approx 7{,}867647.
Calculemos os logaritmos:
\ln(11{,}885)\approx 2{,}4755,\qquad \ln(7{,}867647)\approx 2{,}06298.
Logo
\gamma \approx \frac{2{,}4755}{2{,}06298}\approx 1{,}200.
Interpretação rápida: \gamma\approx 1{,}200.

Passo 3

Determinar a temperatura final T_2 usando a relação adiabática entre T e V.
Teoria e fórmula usada:
  • Para adiabática reversível de gás ideal vale também
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
portanto
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Aqui T está em Kelvin; \gamma-1 é o expoente que encontramos no passo anterior.
Cálculo:
  • Primeiro calculemos \gamma-1:
\gamma-1 \approx 1{,}200 - 1 = 0{,}200.
  • Já sabemos \dfrac{V_1}{V_2}\approx 7{,}867647. Então
\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 7{,}867647^{0{,}200}.
Para calcular isso, uso logaritmo: \ln do fator é 0{,}200\cdot \ln(7{,}867647)\approx 0{,}200\cdot 2{,}06298 \approx 0{,}4126. Assim o fator é \exp(0{,}4126)\approx 1{,}510.
  • Finalmente
T_2 = T_1\cdot 1{,}510 \approx 250{,}15\\ \mathrm{K}\times 1{,}510 \approx 377{,}7\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius (se quiser):
T_2 = 377{,}7\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 104{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Determinar o número de mols n usando a equação dos gases ideais.
Teoria e fórmula:
  • Equação dos gases ideais (uma forma útil)
pV = n R T,
onde p é pressão em pascal, V volume em \mathrm{m^3}, n número de mols, R constante dos gases R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)}, e T em Kelvin.
  • Podemos usar o estado 1 para calcular n:
n = \frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Cálculo (atenção às unidades: converter kPa para Pa se fizer produto numérico direto):
p_1 = 122\\ \mathrm{kPa}=122\,000\\ \mathrm{Pa}, \qquad V_1 = 10{,}7\\ \mathrm{m^3}, \qquad T_1 = 250{,}15\\ \mathrm{K}.
Produto no numerador:
p_1 V_1 = 122\,000 \times 10{,}7 = 1{,}305{,}400\\ \mathrm{J}.
Denominador:
R T_1 = 8{,}314462618 \times 250{,}15 \approx 2{,}079{,}863\\ \mathrm{J/mol}.
Portanto
n \approx \frac{1{,}305{,}400}{2{,}079{,}863}\approx 628{,}0\\ \mathrm{mol}.
Verificação rápida (checar com o estado 2): p_2V_2/(R T_2) dá valor muito próximo, confirmando consistência.

Passo 5

Energia cinética de translação total por mol antes e após a compressão.
Teoria e fórmula:
  • A energia cinética de translação média por partícula (num gás ideal tridimensional) é \dfrac{3}{2}k_B T, onde k_B é a constante de Boltzmann.
  • Por mol, multiplicando por N_A (ou substituindo k_B N_A = R), a energia de translação por mol é
E_{\text{trans, por mol}} = \frac{3}{2} R T.
Então basta usar T_1 e T_2.
Cálculo antes (estado 1):
E_{1,\text{mol}} = \frac{3}{2} R T_1 = \frac{3}{2}\times 8{,}314462618 \times 250{,}15 \approx 3119{,}8\\ \mathrm{J/mol}.
Arredondando: E_{1,\text{mol}}\approx 3120\\ \mathrm{J/mol}.
Cálculo após (estado 2):
E_{2,\text{mol}} = \frac{3}{2} R T_2 = \frac{3}{2}\times 8{,}314462618 \times 377{,}7 \approx 4710{,}8\\ \mathrm{J/mol}.
Arredondando: E_{2,\text{mol}}\approx 4711\\ \mathrm{J/mol}.
Comentário pedagógico curto: a energia de translação por mol cresce na mesma proporção que a temperatura absoluta (porque é proporcional a T). Como a compressão foi adiabática, T aumentou e, portanto, a energia translacional por mol também aumentou.

Resposta

(a) \gamma \approx 1{,}200
(b) T_2 \approx 377{,}7\\ \mathrm{K} \approx 104{,}6^\circ\mathrm{C}
(c) n \approx 628{,}0\\ \mathrm{mol}
(d) E_{1,\text{por mol}} \approx 3119{,}8\\ \mathrm{J/mol}
E_{2,\text{por mol}} \approx 4710{,}8\\ \mathrm{J/mol}

Exercícios relacionados