Em uma experiência prática de Física experimental 1, os alunos precisam realizar medições de massa de uma peça de alumínio utilizando uma balança calibrada. O valor verdadeiro da massa da peça é 25,00 \mathrm{~g} de acordo com a certificação do Immetro. Cada aluno realizou seis medições independentes, cujos resultados de um dos alunos estão resumidos na tabela 3.6.
Table 1: Tabela 3.6: Resultados das Medições da Massa.
\captionsetup{labelformat=empty}
Medição Valor Medido (g)
1 24,98
2 25,05
3 25,12
4 25,03
5 24,96
6 25,09
Considerando os dados fornecidos pelo aluno de acordo com a Tabela faça o que é solicitado.
a) Calcule a média das medições realizadas pelos alunos.
b) Calcule o desvio de cada medição em relação ao valor verdadeiro.
c) Calcule o desvio médio absoluto das medições.
d) Calcule a exatidão das medições em relação ao valor verdadeiro.
e) Com base nos resultados, discuta se as medições foram precisas e exatas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os valores da tabela do enunciado).
  • Valor verdadeiro (certificado): x_{\text{verdadeiro}} = 25,00\\ \mathrm{g}.
  • Seis medições do aluno (em gramas):
    • x_1 = 24,98
    • x_2 = 25,05
    • x_3 = 25,12
    • x_4 = 25,03
    • x_5 = 24,96
    • x_6 = 25,09
O enunciado pede:
a) Calcular a média das medições.
b) Calcular o desvio de cada medição em relação ao valor verdadeiro.
c) Calcular o desvio médio absoluto das medições.
d) Calcular a exatidão das medições em relação ao valor verdadeiro.
e) Discutir se as medições foram precisas e exatas.

Passo 2

(a) Como calcular a média e por que ela importa.
A média aritmética das medições é a melhor estimativa central quando as medições são independentes e têm erros aleatórios. A fórmula é:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde n é o número de medições e x_i cada medição.
Aplicando aos nossos dados ( n=6):
primeiro somo as medições:
\sum_{i=1}^{6} x_i = 24,98 + 25,05 + 25,12 + 25,03 + 24,96 + 25,09 = 150,23
Agora a média:
\bar{x}=\frac{150,23}{6}=25,038333\ldots
Arredondando de forma compatível com as casas das medidas (duas casas decimais) podemos escrever \bar{x}=25,04\\ \mathrm{g}, mas manterei também o valor mais preciso \bar{x}=25,0383\\ \mathrm{g} para cálculos posteriores.

Passo 3

(b) Definição e cálculo dos desvios em relação ao valor verdadeiro.
O desvio de cada medição em relação ao valor verdadeiro é dado por
d_i = x_i - x_{\text{verdadeiro}}.
Isso mostra se a medição ficou acima (positivo) ou abaixo (negativo) do valor certificado.
Calculando um a um (peguei x_{\text{verdadeiro}}=25,00 da tabela):
\begin{aligned} d_1 &= 24,98 - 25,00 = -0,02\\ \mathrm{g},\\\ d_2 &= 25,05 - 25,00 = +0,05\\ \mathrm{g},\\\ d_3 &= 25,12 - 25,00 = +0,12\\ \mathrm{g},\\\ d_4 &= 25,03 - 25,00 = +0,03\\ \mathrm{g},\\\ d_5 &= 24,96 - 25,00 = -0,04\\ \mathrm{g},\\\ d_6 &= 25,09 - 25,00 = +0,09\\ \mathrm{g}. \end{aligned}

Passo 4

(c) Desvio médio absoluto — o que é e como calcular.
O desvio médio absoluto (DMA) em relação ao valor verdadeiro é a média dos valores absolutos dos desvios; mede, em média, quão longe as medições ficam do valor verdadeiro, sem cancelar sinais positivos/negativos:
\text{DMA}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |d_i| = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - x_{\text{verdadeiro}}|.
Usando os valores calculados em

Passo 5

\sum_{i=1}^{6}|d_i| = 0,02 + 0,05 + 0,12 + 0,03 + 0,04 + 0,09 = 0,35
Logo
\text{DMA}=\frac{0,35}{6}=0,058333\ldots\\ \mathrm{g}.
Arredondando: \text{DMA}\approx 0,058\\ \mathrm{g} (ou, com duas casas, 0,06\\ \mathrm{g}).

Passo 6

(d) Exatidão — definição prática e cálculo do erro sistemático (viés) e do erro percentual.
Em experimentos, “exatidão” costuma referir-se a quão perto, em média, as medições estão do valor verdadeiro; isso é quantificado pelo viés (bias):
\text{viés} = b = \bar{x} - x_{\text{verdadeiro}}.é
Usando \bar{x}=25,038333\ldots e x_{\text{verdadeiro}}=25,00:
b = 25,038333\ldots - 25,00 = 0,038333\ldots\\ \mathrm{g}.
O valor absoluto do viés é |b|=0,038333\ldots\\ \mathrm{g}, que arredondado dá 0,038\\ \mathrm{g} (ou 0,04\\ \mathrm{g} se usar duas casas).
Também é útil o erro percentual relativo:
\text{erro percentual} = \frac{|b|}{x_{\text{verdadeiro}}}\times 100\% = \frac{0,038333\ldots}{25,00}\times 100\% \approx 0,1533\%\approx 0,15\%.

Passo 7

(e) Precisão — como avaliar numericamente e interpretação.
“Precisão” refere-se ao espalhamento (dispersão) das medições — medimos isso normalmente com o desvio padrão das medições. Para um conjunto de n medições usa-se o desvio padrão amostral:
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2},
onde \bar{x} é a média das medições. Esse s indica a variabilidade interna das medições; quanto menor, mais repetíveis (precisas) as medidas são.
Calculemos passo a passo (uso \bar{x}=25,038333\ldots):
primeiro os desvios em relação à média e seus quadrados (valores aproximados):
\begin{aligned} x_1-\bar{x} &= -0,058333\ldots,\quad (x_1-\bar{x})^2 \approx 0,00340278,\\\ x_2-\bar{x} &= +0,011666\ldots,\quad (x_2-\bar{x})^2 \approx 0,00013611,\\\ x_3-\bar{x} &= +0,081666\ldots,\quad (x_3-\bar{x})^2 \approx 0,00667361,\\\ x_4-\bar{x} &= -0,008333\ldots,\quad (x_4-\bar{x})^2 \approx 0,00006944,\\\ x_5-\bar{x} &= -0,078333\ldots,\quad (x_5-\bar{x})^2 \approx 0,00613611,\\\ x_6-\bar{x} &= +0,051666\ldots,\quad (x_6-\bar{x})^2 \approx 0,00266944. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^2 \approx 0,0190875.
Então a variância amostral é
s^2=\frac{0,0190875}{6-1}=\frac{0,0190875}{5}=0,0038175,
e o desvio padrão
s=\sqrt{0,0038175}\approx 0,06178\\ \mathrm{g}.
Arredondando: s\approx 0,062\\ \mathrm{g}.
Interpretação numérica: a dispersão típica das medições é cerca de 0,062\\ \mathrm{g}, que em relação a 25,00\\ \mathrm{g} corresponde a
\frac{s}{25,00}\times 100\%\approx 0,248\%\approx 0,25\%.
Conclusão interpretativa (resumo, sem repetir cálculos):
  • Precisão: o valor de s\approx 0,062\\ \mathrm{g} e o DMA 0,058\\ \mathrm{g} mostram que as medições são bastante consistentes entre si (bom nível de precisão — pouco espalhamento).
  • Exatidão: o viés médio é pequeno ( |b|\approx 0,038\\ \mathrm{g}, cerca de 0,15\%), ou seja, as medições em média estão muito próximas do valor certificado. Há um pequeno deslocamento positivo médio (as medições tendem a ficar +0,038\\ \mathrm{g} acima do valor verdadeiro), mas é um erro muito pequeno em termos relativos.
Um comentário de colega-amigo: os números mostram medições bem comportadas — repetíveis e muito próximas do valor verdadeiro. Então, na prática de laboratório isso é bom sinal: pouca dispersão e pequeno viés. Força aí que tá indo bem!

Resposta

a) \bar{x}=25,038333\ldots\\ \mathrm{g} (arredondando \bar{x}=25,04\\ \mathrm{g}).
b) d_1=-0,02\\ \mathrm{g},\\ d_2=+0,05\\ \mathrm{g},\\ d_3=+0,12\\ \mathrm{g},\\ d_4=+0,03\\ \mathrm{g},\\ d_5=-0,04\\ \mathrm{g},\\ d_6=+0,09\\ \mathrm{g}.
c) \text{desvio médio absoluto}=0,058333\ldots\\ \mathrm{g}é (arredondando \approx 0,058\\ \mathrm{g}).
d) \text{viés}=\bar{x}-x_{\text{verdadeiro}}=0,038333\ldots\\ \mathrm{g}é (erro percentual \approx 0,15\%).
e) As medições são precisas (pequeno espalhamento, s\approx 0,062\\ \mathrm{g}) e também exatas em termos práticos (viés muito pequeno, \approx 0,038\\ \mathrm{g} ou 0,15\%).

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