Um gás ideal, inicialmente à temperatura T1 e pressão P1, é comprimido reversivelmente contra um pistão até um volume igual à metade de seu volume original. A temperatura do gás muda durante a compressão, satisfazendo em cada instante a relação P=A V, sendo A uma constante. Mostrar que o trabalho realizado sobre um gás em um processo arbitrário pode expressar-se da forma
đ W=P V beta d T-P V kappa d P đ
e determine o trabalho de um gás ideal neste processo arbitrário.

Passo 1

Beleza, manda ver: a gente tem um gás ideal que passa por um processo qualquer (pode ser compressão, expansão… tanto faz), e nosso objetivo é fazer duas coisas:
  1. Mostrar que, em qualquer processo reversível, o elemento de trabalho pode ser escrito como
de
onde
 • é o coeficiente de expansão térmica ,
 • é a compressibilidade .
  1. Depois, especializar isso ao gás ideal (com ) e escrever a expressão do trabalho nesse caso.
Para isso a gente vai precisar de:
• A definição de trabalho reversível .
• A fórmula de diferencial total de .
• As definições de e .

Passo 2

Vamos começar lembrando que, para um processo reversível, o trabalho (feito PELO gás) é
de
Agora, toda vez que dV = l(partial V/partial Tr)P,dT ;+; l(partial V/partial Pr)T,dP depende de dois parâmetros independentes beta = 1Vl(partial Vpartial Tr)P Longrightarrow l(partial Vpartial Tr)P = V,beta, e kappa = -1Vl(partial Vpartial Pr)T Longrightarrow l(partial Vpartial Pr)T = -,V,kappa , o diferencial total é
dV = V,beta,dT ;+; l(-V,kappar),dP = V,beta,dT ;-; V,kappa,dP
Mas por definição:
boxedde
Então
Substituindo em , dá

Passo 3

Agora, para o gás ideal vale a equação de estado
P,V = R,T Longrightarrow V = R,TP
Basta achar de e de nesse caso:

Substituindo em
, temos
Mas , então

Resposta

Para um gás ideal, num processo arbitrário, o elemento de trabalho reversível pode ser escrito como
boxedde
Se você quiser o trabalho total entre dois estados W = integral de, integra-se
e aí só falta especificar a relação de quem liga e no caminho dado.

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