Um gás ideal, inicialmente à temperatura
e pressão
, é comprimido reversivelmente contra um pistão até um volume igual à metade de seu volume original. A temperatura do gás muda durante a compressão, satisfazendo em cada instante a relação
, sendo
uma constante. Mostrar que o trabalho realizado sobre um gás em um processo arbitrário pode expressar-se da forma
e determine o trabalho de um gás ideal neste processo arbitrário.
Passo 1
Beleza, manda ver: a gente tem um gás ideal que passa por um processo qualquer (pode ser compressão, expansão… tanto faz), e nosso objetivo é fazer duas coisas:
- Mostrar que, em qualquer processo reversível, o elemento de trabalho pode ser escrito como
onde
• é o coeficiente de expansão térmica
,
• é a compressibilidade
.
•
•
- Depois, especializar isso ao gás ideal (com
) e escrever a expressão do trabalho nesse caso.
Para isso a gente vai precisar de:
• A definição de trabalho reversível .
• A fórmula de diferencial total de .
• As definições de e
.
• A definição de trabalho reversível
• A fórmula de diferencial total de
• As definições de
Passo 2
Vamos começar lembrando que, para um processo reversível, o trabalho (feito PELO gás) é
Agora, toda vez que
depende de dois parâmetros independentes
e
, o diferencial total é
Mas por definição:
Então
Substituindo em
, dá
Passo 3
Agora, para o gás ideal vale a equação de estado
Basta achar
e
nesse caso:
•
•
•
•
Substituindo em
, temos
Mas
, então
Resposta
Para um gás ideal, num processo arbitrário, o elemento de trabalho reversível pode ser escrito como
Se você quiser o trabalho total entre dois estados
, integra-se
e aí só falta especificar a relação
de quem liga
e
no caminho dado.