Num gás ideal, as moléculas colidem com as paredes do recipiente em colisões ditas como perfeitamente elásticas. Sabe se que a energia cinética média de cada molécula é função da quantidade de moléculas presentes, N, da constante universal dos gases R e da temperatura absoluta T do gás. Determine a expressão para a energia cinética do gás.
E_{c}=k N R T

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede)
  • O enunciado diz que temos um gás ideal cujas colisões das moléculas com as paredes são perfeitamente elásticas.
  • Diz que a energia cinética média de cada molécula é função da quantidade de moléculas presentes N, da constante universal dos gases R e da temperatura absoluta T.
  • Pede para determinar a expressão para a energia cinética do gás no formato
E_{c}=k\,N\,R\,T,
ou seja, determinar o valor da constante k e escrever a expressão correta para E_c.
  • Informação implícita que vamos usar: relações da teoria cinética dos gases e da equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Ideia básica da teoria cinética (explicação do que vamos usar)
  • A teoria cinética liga a pressão p de um gás ao movimento das moléculas: a pressão vem das colisões das moléculas com as paredes.
  • Uma relação útil que resulta dessa teoria é
pV=\tfrac{1}{3}N m \langle v^{2}\rangle,
onde:
  • p é a pressão do gás,
  • V é o volume do recipiente,
  • N é o número de moléculas,
  • m é a massa de uma molécula,
  • \langle v^{2}\rangle é a média do quadrado da velocidade (média das velocidades quadráticas).
  • Vou mostrar rapidamente de onde vem essa relação (síntese da derivação física, passo a passo simples).

Passo 3

Derivação rápida de pV=\tfrac{1}{3}N m \langle v^{2}\rangle (passo a passo)
  • Considere um cubo de lado L contendo N moléculas. Pegue uma molécula com componente de velocidade na direção x igual a v_x. Ao colidir perpendicularmente com a parede perpendicular ao eixo x, o impulso (variação de quantidade de movimento) é
\Delta p_x = -m v_x - (m v_x) = -2m v_x
(em módulo, a mudança é 2m v_x).
  • O tempo entre colisões sucessivas com a mesma parede para essa molécula é \Delta t = \dfrac{2L}{|v_x|}. Portanto a força média que essa molécula exerce na parede é \dfrac{\Delta p_x}{\Delta t} = \dfrac{2m v_x}{2L/|v_x|}= \dfrac{m v_x^{2}}{L}.
  • Somando a contribuição de todas as moléculas e dividindo pela área da parede L^{2}, obtemos a pressão (fazendo a média sobre todas as moléculas e usando isotropia \langle v_x^{2}\rangle = \langle v_y^{2}\rangle = \langle v_z^{2}\rangle = \tfrac{1}{3}\langle v^{2}\rangle):
p = \frac{N m \langle v_x^{2}\rangle}{V} = \frac{N m}{V}\cdot\frac{\langle v^{2}\rangle}{3}.
Multiplicando por V dá a relação anunciada:
pV=\tfrac{1}{3}N m \langle v^{2}\rangle.

Passo 4

Energia cinética total do gás em termos de \langle v^{2}\rangle
  • A energia cinética de uma molécula é \tfrac{1}{2}m v^{2}. A energia cinética total de todas as N moléculas (energia translacional total) é
E_{c,\text{total}}=N\cdot \tfrac{1}{2} m \langle v^{2}\rangle.
  • Usando a relação do passo anterior para eliminar m\langle v^{2}\rangle, temos:
pV=\tfrac{1}{3}N m \langle v^{2}\rangle \quad\Rightarrow\quad m\langle v^{2}\rangle = \frac{3pV}{N}.
  • Substituindo em E_{c,\text{total}}:
E_{c,\text{total}} = N\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \frac{3pV}{N} = \tfrac{3}{2}pV.

Passo 5

Relacionando com a temperatura via equação de estado e constante de Boltzmann
  • A equação de estado do gás ideal pode ser escrita em duas formas equivalentes:
    • em termos do número de mols n: \;pV=nRT,
    • em termos do número de moléculas N: \;pV = N k_B T,
      onde k_B é a constante de Boltzmann.
  • A relação entre R (constante universal dos gases), k_B e a constante de Avogadro N_A é
R = N_A k_B.
  • Como o enunciado pede a expressão envolvendo N, R e T, vamos usar pV = N k_B T e depois substituir k_B = \dfrac{R}{N_A}.

Passo 6

Obter a expressão final e identificar k
  • Partindo de E_{c,\text{total}}=\tfrac{3}{2}pV e usando pV = N k_B T, obtemos
E_{c,\text{total}} = \tfrac{3}{2} N k_B T.
  • Substituindo k_B = \dfrac{R}{N_A} (ou isolando k na forma pedida E_c = k N R T):
E_{c,\text{total}} = \tfrac{3}{2} N \left(\dfrac{R}{N_A}\right) T = \left(\dfrac{3}{2N_A}\right) N R T.
  • Portanto a constante k do enunciado é
k=\dfrac{3}{2N_A}.
  • Se desejar um valor numérico aproximado, usando N_A \approx 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
k \approx \dfrac{3}{2\cdot 6{,}022\times10^{23}} \approx 2{,}49\times10^{-24}.

Resposta

E_{c}=\tfrac{3}{2}\,N\,k_{B}\,T
E_{c}=\dfrac{3}{2N_{A}}\,N\,R\,T\quad\text{(logo }k=\dfrac{3}{2N_{A}}\text{)}

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