Num gás ideal, as moléculas colidem com as paredes do recipiente em colisões ditas como perfeitamente elásticas. Sabe se que a energia cinética média de cada molécula é função da quantidade de moléculas presentes,
, da constante universal dos gases R e da temperatura absoluta T do gás. Determine a expressão para a energia cinética do gás.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede)
- O enunciado diz que temos um gás ideal cujas colisões das moléculas com as paredes são perfeitamente elásticas.
- Diz que a energia cinética média de cada molécula é função da quantidade de moléculas presentes
, da constante universal dos gases e da temperatura absoluta . - Pede para determinar a expressão para a energia cinética do gás no formato
ou seja, determinar o valor da constante
e escrever a expressão correta para
.
- Informação implícita que vamos usar: relações da teoria cinética dos gases e da equação de estado do gás ideal.
Passo 2
Ideia básica da teoria cinética (explicação do que vamos usar)
- A teoria cinética liga a pressão
de um gás ao movimento das moléculas: a pressão vem das colisões das moléculas com as paredes. - Uma relação útil que resulta dessa teoria é
onde:
-
é a pressão do gás, -
é o volume do recipiente, -
é o número de moléculas, -
é a massa de uma molécula, -
é a média do quadrado da velocidade (média das velocidades quadráticas). - Vou mostrar rapidamente de onde vem essa relação (síntese da derivação física, passo a passo simples).
Passo 3
Derivação rápida de
(passo a passo)
- Considere um cubo de lado
contendo moléculas. Pegue uma molécula com componente de velocidade na direção igual a . Ao colidir perpendicularmente com a parede perpendicular ao eixo , o impulso (variação de quantidade de movimento) é
(em módulo, a mudança é
).
- O tempo entre colisões sucessivas com a mesma parede para essa molécula é
. Portanto a força média que essa molécula exerce na parede é . - Somando a contribuição de todas as moléculas e dividindo pela área da parede
, obtemos a pressão (fazendo a média sobre todas as moléculas e usando isotropia ):
Multiplicando por
dá a relação anunciada:
Passo 4
Energia cinética total do gás em termos de
- A energia cinética de uma molécula é
. A energia cinética total de todas as moléculas (energia translacional total) é
- Usando a relação do passo anterior para eliminar
, temos:
- Substituindo em
:
Passo 5
Relacionando com a temperatura via equação de estado e constante de Boltzmann
- A equação de estado do gás ideal pode ser escrita em duas formas equivalentes:
- em termos do número de mols
: , - em termos do número de moléculas
: ,
ondeé a constante de Boltzmann.
- em termos do número de mols
- A relação entre
(constante universal dos gases), e a constante de Avogadro é
- Como o enunciado pede a expressão envolvendo
, e , vamos usar e depois substituir .
Passo 6
Obter a expressão final e identificar
- Partindo de
e usando , obtemos
- Substituindo
(ou isolando na forma pedida ):
- Portanto a constante
do enunciado é
- Se desejar um valor numérico aproximado, usando
,