Sabe se que a diferença de potencial elétrico
, presente em um campo elétrico, depende da velocidade do elétron
, da massa do elétron
, e de sua carga
. Determine a equação de U em função das demais variáveis. Dados:
Passo 1
O enunciado pede determinar a equação de
(diferença de potencial) em função de
(velocidade do elétron),
(massa do elétron) e
(carga do elétron). Foi sugerida a forma
Dados fornecidos (dimensões):
Também sabemos as dimensões usuais de
e
:
Passo 2
Vamos assumir a forma potência geral (método padrão de análise dimensional): escrevemos
proporcional a potências de
,
e
com uma constante adimensional
. Ou seja
onde
são expoentes reais a determinar e
é uma constante numérica (pode ser adimensional).
Passo 3
Agora escrevemos as dimensões de cada fator (tudo em notação de potências das dimensões fundamentais
):
Passo 4
Combinação das dimensões do lado direito:
Isso deve igualar as dimensões conhecidas de
:
Passo 5
Igualamos expoentes para cada grandeza fundamental, obtendo um sistema linear:
- Expoente de
:
- Expoente de
:
- Expoente de
:
- Expoente de
:
Passo 6
Resolvendo as equações encontradas:
- Da primeira:
. - Da segunda:
. - Da quarta:
.
Verificamos a terceira para consistência: substituindoe obtemos , que bate com o lado esquerdo. Portanto o sistema é consistente.
Passo 7
Substituindo os expoentes na forma geral:
Como os expoentes foram determinados apenas pela comparação dimensional, a constante
é adimensional (sem dimensão) — a análise dimensional não determina seu valor numérico, só a forma funcional.
Passo 8
Breve interpretação e checagem de unidades (confirmação): o lado direito tem dimensão
que é exatamente
. Logo a forma encontrada está correta do ponto de vista dimensional.