Sabe se que a diferença de potencial elétrico U, presente em um campo elétrico, depende da velocidade do elétron V, da massa do elétron m, e de sua carga e. Determine a equação de U em função das demais variáveis. Dados: [\mathrm{e}]=\mathrm{IT} ;[\mathrm{U}]=\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-3} \mathrm{I}^{-1}
U=k \frac{v^{2} m}{e}

Passo 1

O enunciado pede determinar a equação de U (diferença de potencial) em função de v (velocidade do elétron), m (massa do elétron) e e (carga do elétron). Foi sugerida a forma
U = k \frac{v^{2} m}{e}
Dados fornecidos (dimensões):
[U]=\mathrm{M}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-3}\mathrm{I}^{-1}, \qquad [e]=\mathrm{I}\mathrm{T}.
Também sabemos as dimensões usuais de v e m:
[v]=\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1},\qquad [m]=\mathrm{M}.

Passo 2

Vamos assumir a forma potência geral (método padrão de análise dimensional): escrevemos U proporcional a potências de v, m e e com uma constante adimensional k. Ou seja
U = k\, v^{\alpha} m^{\beta} e^{\gamma},
onde \alpha,\beta,\gamma são expoentes reais a determinar e k é uma constante numérica (pode ser adimensional).

Passo 3

Agora escrevemos as dimensões de cada fator (tudo em notação de potências das dimensões fundamentais \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T},\mathrm{I}):
[v^{\alpha}] = (\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1})^{\alpha} = \mathrm{L}^{\alpha}\mathrm{T}^{-\alpha},
[m^{\beta}] = \mathrm{M}^{\beta},
[e^{\gamma}] = (\mathrm{I}\mathrm{T})^{\gamma} = \mathrm{I}^{\gamma}\mathrm{T}^{\gamma}.

Passo 4

Combinação das dimensões do lado direito:
[v^{\alpha} m^{\beta} e^{\gamma}] = \mathrm{M}^{\beta}\,\mathrm{L}^{\alpha}\,\mathrm{T}^{-\alpha+\gamma}\,\mathrm{I}^{\gamma}.
Isso deve igualar as dimensões conhecidas de U:
\mathrm{M}^{1}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-3}\mathrm{I}^{-1}.

Passo 5

Igualamos expoentes para cada grandeza fundamental, obtendo um sistema linear:
  • Expoente de \mathrm{M}:
1 = \beta.
  • Expoente de \mathrm{L}:
2 = \alpha.
  • Expoente de \mathrm{T}:
-3 = -\alpha + \gamma.
  • Expoente de \mathrm{I}:
-1 = \gamma.

Passo 6

Resolvendo as equações encontradas:
  • Da primeira: \beta = 1.
  • Da segunda: \alpha = 2.
  • Da quarta: \gamma = -1.
    Verificamos a terceira para consistência: substituindo \alpha=2 e \gamma=-1 obtemos -\alpha+\gamma = -2 + (-1) = -3, que bate com o lado esquerdo. Portanto o sistema é consistente.

Passo 7

Substituindo os expoentes na forma geral:
U = k\, v^{2} m^{1} e^{-1} = k\,\frac{v^{2} m}{e}.
Como os expoentes foram determinados apenas pela comparação dimensional, a constante k é adimensional (sem dimensão) — a análise dimensional não determina seu valor numérico, só a forma funcional.

Passo 8

Breve interpretação e checagem de unidades (confirmação): o lado direito tem dimensão
\frac{[v]^{2}[m]}{[e]} = \frac{(\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1})^{2}\,\mathrm{M}}{\mathrm{I}\mathrm{T}} = \mathrm{M}\mathrm{L}^{2}\mathrm{T}^{-3}\mathrm{I}^{-1},
que é exatamente [U]. Logo a forma encontrada está correta do ponto de vista dimensional.

Resposta

U = k\,\frac{v^{2}m}{e}

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