Qualquer corpo rígido suspenso por um ponto fora de seu centro de massa, efetua oscilações. A aceleração angular \alpha do corpo é diretamente proporcional ao ângulo \theta de amplitude de oscilção, depende do peso do corpo, do momento de inércia I e da distância do ponto de suspensão ao centro de massa d. Considere \mathrm{k}=1, Determine a equação que relaciona a aceleração \alpha com as demais variáveis. Dado [I] =\mathrm{ML}^{2}
\alpha=\frac{P d \theta}{I}

Passo 1

O enunciado diz: um corpo rígido está suspenso por um ponto fora do seu centro de massa e oscila. A aceleração angular \alpha é diretamente proporcional ao ângulo \theta da oscilação, e depende do peso P do corpo, do momento de inércia I e da distância d do ponto de suspensão ao centro de massa. Foi dado [I]=\mathrm{ML}^{2} e pede-se determinar a equação que relaciona \alpha com as demais variáveis, considerando \mathrm{k}=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Variáveis: P (peso, força), d (distância do ponto de suspensão ao centro de massa), I (momento de inércia), \theta (ângulo de deslocamento), \alpha (aceleração angular).
  • Relação de proporcionalidade direta entre \alpha e \theta.
  • Constante de proporcionalidade dada como \mathrm{k}=1.
  • Unidade do momento de inércia: [I]=\mathrm{ML}^{2}.

Passo 2

Definição física e símbolos (para ficar claro):
  • P é o peso do corpo, ou seja, a força gravitacional P=mg. Unidade: força.
  • d é o braço (distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa). Unidade: comprimento.
  • I é o momento de inércia em relação ao ponto de rotação. Unidade: \mathrm{ML}^{2}.
  • \theta é o ângulo de deslocamento (em radianos, adote radianos para consistência).
  • \alpha é a aceleração angular, \alpha=\ddot{\theta} (segunda derivada temporal de \theta).
    Vamos usar a equação do movimento de rotação: o somatório dos torques é igual a I vezes a aceleração angular.

Passo 3

Cálculo do torque devido ao peso: o peso P atua verticalmente no centro de massa e gera um torque em relação ao ponto de suspensão. O módulo do torque é dado por
\tau = P \, d \, \sin\theta.
Explicando: torque (momento) é força multiplicada pelo braço perpendicular; aqui o braço efetivo é d\sin\theta, então \tau = P\cdot(d\sin\theta).

Passo 4

Direção do torque e sinal: quando o corpo é deslocado por um ângulo positivo \theta, a força peso tende a girá-lo de volta ao equilíbrio — portanto o torque é restaurador, apontando no sentido oposto ao deslocamento angular. Isso introduz um sinal negativo na equação do movimento. Assim, o torque resultante que aparece na equação I\alpha=\sum \tau é
\sum \tau = -P d \sin\theta.

Passo 5

Aproximação de pequeno ângulo (essencial para relação linear): para oscilações pequenas (situação típica de pêndulos físicos e oscilações pequenas de corpos rígidos), usamos a aproximação de série de Taylor
\sin\theta \approx \theta\quad\text{quando }\theta\text{ é pequeno (em rad)}.é
Isso transforma o torque não linear em uma expressão linear em \theta, o que garante proporcionalidade direta entre \alpha e \theta.

Passo 6

Aplicando a lei de Newton para rotações: I\alpha=\sum \tau. Substituindo o torque aproximado:
I\alpha = -P d \sin\theta \approx -P d \theta.
Isolando \alpha:
\alpha = -\frac{P d}{I}\,\theta.

Passo 7

Interpretação do resultado e relação com a constante \mathrm{k}: a forma geral seria \alpha = -\mathrm{k}\,\dfrac{P d}{I}\,\theta. Como o enunciado pede para considerar \mathrm{k}=1, obtemos exatamente a expressão do Passo 6. Note que o sinal negativo indica que a aceleração angular é restauradora (oposta ao deslocamento), ou seja, o sistema realiza oscilações que, para pequenos ângulos, são harmônicas simples com frequência angular \omega dada por \omega^{2}=\dfrac{P d}{I}.

Resposta

\alpha = -\dfrac{P d}{I}\,\theta

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