Qualquer corpo rígido suspenso por um ponto fora de seu centro de massa, efetua oscilações. A aceleração angular
do corpo é diretamente proporcional ao ângulo
de amplitude de oscilção, depende do peso do corpo, do momento de inércia I e da distância do ponto de suspensão ao centro de massa d. Considere
, Determine a equação que relaciona a aceleração
com as demais variáveis. Dado [I]
Passo 1
O enunciado diz: um corpo rígido está suspenso por um ponto fora do seu centro de massa e oscila. A aceleração angular
é diretamente proporcional ao ângulo
da oscilação, e depende do peso
do corpo, do momento de inércia
e da distância
do ponto de suspensão ao centro de massa. Foi dado
e pede-se determinar a equação que relaciona
com as demais variáveis, considerando
.
Informações relevantes fornecidas:
- Variáveis:
(peso, força), (distância do ponto de suspensão ao centro de massa), (momento de inércia), (ângulo de deslocamento), (aceleração angular). - Relação de proporcionalidade direta entre
e . - Constante de proporcionalidade dada como
. - Unidade do momento de inércia:
.
Passo 2
Definição física e símbolos (para ficar claro):
-
é o peso do corpo, ou seja, a força gravitacional . Unidade: força. -
é o braço (distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa). Unidade: comprimento. -
é o momento de inércia em relação ao ponto de rotação. Unidade: . -
é o ângulo de deslocamento (em radianos, adote radianos para consistência). -
é a aceleração angular, (segunda derivada temporal de ).
Vamos usar a equação do movimento de rotação: o somatório dos torques é igual avezes a aceleração angular.
Passo 3
Cálculo do torque devido ao peso: o peso
atua verticalmente no centro de massa e gera um torque em relação ao ponto de suspensão. O módulo do torque é dado por
Explicando: torque (momento) é força multiplicada pelo braço perpendicular; aqui o braço efetivo é
, então
.
Passo 4
Direção do torque e sinal: quando o corpo é deslocado por um ângulo positivo
, a força peso tende a girá-lo de volta ao equilíbrio — portanto o torque é restaurador, apontando no sentido oposto ao deslocamento angular. Isso introduz um sinal negativo na equação do movimento. Assim, o torque resultante que aparece na equação
é
Passo 5
Aproximação de pequeno ângulo (essencial para relação linear): para oscilações pequenas (situação típica de pêndulos físicos e oscilações pequenas de corpos rígidos), usamos a aproximação de série de Taylor
Isso transforma o torque não linear em uma expressão linear em
, o que garante proporcionalidade direta entre
e
.
Passo 6
Aplicando a lei de Newton para rotações:
. Substituindo o torque aproximado:
Isolando
:
Passo 7
Interpretação do resultado e relação com a constante
: a forma geral seria
. Como o enunciado pede para considerar
, obtemos exatamente a expressão do Passo 6. Note que o sinal negativo indica que a aceleração angular é restauradora (oposta ao deslocamento), ou seja, o sistema realiza oscilações que, para pequenos ângulos, são harmônicas simples com frequência angular
dada por
.