Um gás ideal realiza um ciclo de Carnot. A expansão isotérmica ocorre a 225^{\circ} \mathrm{C} e a compressão isotérmica ocorre a 50,0^{\circ} \mathrm{C}. O gás absorve 1500 J de calor do reservatório quente durante a expansão isotérmica. Encontre
(a) o calor rejeitado para o reservatório frio em cada ciclo, e
(b) o trabalho líquido feito pelo gás em cada ciclo.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • A expansão isotérmica ocorre a 225^\circ\mathrm{C}.
    • A compressão isotérmica ocorre a 50{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • O gás absorve Q_H = 1500\\ \mathrm{J} do reservatório quente durante a expansão isotérmica.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o calor rejeitado para o reservatório frio em cada ciclo (ou seja, Q_C)?
    (b) Qual é o trabalho líquido feito pelo gás em cada ciclo (ou seja, W)?

Passo 2

Primeiro precisamos trabalhar com temperaturas absolutas (kelvin), porque as fórmulas de eficiência térmica usam temperaturas em kelvin. A conversão é:
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Aplicando aos dois reservatórios:
T_H = 225^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 498{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = 50{,}0^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K}.
Aqui T_H é a temperatura do reservatório quente (em kelvin) e T_C é a do reservatório frio (em kelvin).

Passo 3

Agora a teoria essencial: para um ciclo de Carnot (motor reversível ideal) a eficiência térmica \eta é dada por
\eta = 1 - \dfrac{T_C}{T_H},
onde \eta é a fração do calor absorvido que é convertida em trabalho, T_H e T_C são as temperaturas absolutas do reservatório quente e frio, respectivamente. Outra relação útil é a conservação de energia para o ciclo:
W = Q_H - Q_C,
onde W é o trabalho líquido feito pelo gás em cada ciclo, Q_H é o calor absorvido do reservatório quente e Q_C é o calor rejeitado ao reservatório frio. Também vale
\eta = \dfrac{W}{Q_H} = 1 - \dfrac{Q_C}{Q_H}.
Dessas expressões obtemos uma forma direta para Q_C:
Q_C = Q_H\cdot\dfrac{T_C}{T_H}.
Vou usar essa última relação para encontrar Q_C, e depois W.

Passo 4

Calcular a razão \dfrac{T_C}{T_H}:
\dfrac{T_C}{T_H} = \dfrac{323{,}15}{498{,}15}.
Fazendo a divisão (mostrar os passos):
  • Podemos aproximar por uma conta manual: 498{,}15\times 0{,}65 = 323{,}7975 (ligeiramente maior que 323{,}15), então a razão é um pouco menor que 0{,}65.
  • Calculando com precisão suficiente: \dfrac{323{,}15}{498{,}15} \approx 0{,}6487.
Agora calcular Q_C:
Q_C = Q_H\cdot\dfrac{T_C}{T_H} = 1500\\ \mathrm{J}\times 0{,}6487 \approx 973{,}05\\ \mathrm{J}.
Arredondando sensatamente (dados originais têm três algarismos razoáveis), tomo Q_C \approx 973\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o trabalho líquido W. Usando W = Q_H - Q_C:
W = 1500\\ \mathrm{J} - 973{,}05\\ \mathrm{J} \approx 526{,}95\\ \mathrm{J}.
Arredondando como acima, W \approx 527\\ \mathrm{J}.
Como verificação alternativa, usando a eficiência:
\eta = 1 - \dfrac{T_C}{T_H} = 1 - 0{,}6487 = 0{,}3513,
W = \eta Q_H = 0{,}3513\times 1500\\ \mathrm{J} \approx 526{,}95\\ \mathrm{J},
mesma resposta (confirmação boa — bate com a subtração).

Passo 6

Resumo e observações rápidas de prova:
  • Sempre converter °C para K antes de usar \eta = 1 - T_C/T_H.
  • Para um motor de Carnot ideal, Q_C/Q_H = T_C/T_H (proporção direta).
  • Em problemas de prova, calcule a razão T_C/T_H com cuidado e, se necessário, mostre a verificação via \eta.

Resposta

(a) Q_C = 973\\ \mathrm{J}
(b) W = 527\\ \mathrm{J}

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