1. Uma gota de óleo esférica possui potencial elétrico igual a 200 V em sua superficie. A carga total contida na superficie da gota é igual a 0,1 \cdot 10^{-9} \mathrm{C}.Não existe carga livre no interior da gota.Calcule o raio da gota.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potencial elétrico na superfície da gota: V=200\\ \mathrm{V}.
    • Carga total na superfície da gota: Q=0,1\times10^{-9}\\ \mathrm{C}. Observação: 0,1\times10^{-9}=1\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
    • Não existe carga livre no interior da gota (logo toda a carga está na superfície).
  • O que se pede:
    • Calcular o raio da gota, isto é, encontrar R em metros.

Passo 2

Qual é a relação física que liga V, Q e R para uma gota esférica com toda a carga na superfície?
  • Quando toda a carga de uma esfera está na superfície e consideramos o potencial com referência ao infinito, o potencial elétrico na superfície de uma esfera de raio R é igual ao potencial de uma carga pontual Q localizada no centro. A fórmula é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R},
onde:
  • V é o potencial na superfície (em volts),
  • Q é a carga total (em coulombs),
  • R é o raio da esfera (em metros),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Explicando de forma intuitiva: fora da esfera o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual Q no centro; o potencial decai como 1/r, e portanto o valor na superfície é proporcional a Q/R.

Passo 3

Isolar R da fórmula e escrever a expressão que vamos calcular.
  • A constante de Coulomb pode ser escrita como k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Então a fórmula fica
V=k\,\frac{Q}{R}.
  • Isolando R,
R=k\,\frac{Q}{V}.
  • Em termos de \varepsilon_0,
R=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{V}.

Passo 4

Substituir valores numéricos e calcular passo a passo.
  • Valores que vamos usar (todos em unidades SI):
    • Q=1\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
    • V=200\\ \mathrm{V}.
    • \varepsilon_0\approx8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
    • Portanto k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8,98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} (usualmente aproximado por 9\times10^{9}).
  • Usando a aproximação k\approx9\times10^{9}:
R=\frac{9\times10^{9}\cdot 1\times10^{-10}}{200}.
Calcule passo a passo:
  • 9\times10^{9}\cdot 1\times10^{-10}=9\times10^{-1}=0,9.
  • Dividindo por 200: 0,9/200=0,0045\\ \mathrm{m}.
  • Usando o valor mais preciso de k (opcional):
R=\frac{8,98755179\times10^{9}\cdot 1\times10^{-10}}{200} =\frac{0,898755179}{200}=0,004493775895\\ \mathrm{m}\approx4,4938\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma prática: R\approx4,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, ou seja 4,5\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação final e observações rápidas (para a prova):
  • Resultado em notação conveniente: R\approx4,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Observação útil para a prova: a fórmula usada vale quando a gota pode ser tratada como esfera com toda a carga na superfície e quando o meio externo tem permissividade aproximadamente igual à do vácuo (ar próximo do vácuo). Se o meio tivesse constante dielétrica diferente, apareceria um fator \varepsilon_r no denominador (mas o enunciado não pede isso).

Resposta

R=4,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}

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