Um gás ideal sofre uma compressão adiabática no seu estado inicial com P0, V0 e T0 para o estado final com P0 times 10^5, V0 / 1000. Calcule,
A temperatura final.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a compressão adiabática de um gás ideal. Basicamente, é quando comprimimos o gás sem trocar calor com o ambiente. Temos os estados inicial e final do gás com pressões, volumes e queremos descobrir a temperatura final. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e a equação da transformação adiabática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma transformação adiabática, a relação entre pressão §, volume (V) e temperatura (T) do gás é dada por:
P cdot V^gamma = constante
ou
T cdot V^gamma - 1 = constante
Aqui, gamma é a razão entre as capacidades térmicas do gás ( Cp / Cv).

Passo 3

Como queremos encontrar a temperatura final ( Tf), vamos usar a segunda equação:
Ti cdot Vi^gamma - 1 = Tf cdot Vf^gamma - 1
Onde:
  • Ti = T0 é a temperatura inicial
  • Vi = V0 é o volume inicial
  • Vf = V0 / 1000 é o volume final

Passo 4

Vamos isolar Tf na equação:
Tf = Ti cdot ( ViVf )^gamma - 1
Substituindo Vf = V0 / 1000:
Tf = T0 cdot ( V0V0 / 1000 )^gamma - 1
Simplificando:
Tf = T0 cdot (1000)^gamma - 1

Passo 5

Agora, precisamos saber o valor de gamma. Supondo que o gás seja diatômico, como o ar, gamma approx 1,4. Substituindo:
Tf = T0 cdot (1000)^1,4 - 1
Tf = T0 cdot (1000)^0,4

Passo 6

Calculando 1000^0,4:
1000^0,4 = e^0,4 cdot ln(1000)
ln(1000) approx 6,907755
0,4 cdot 6,907755 approx 2,763102
e^2,763102 approx 15,840
Então:
Tf approx T0 cdot 15,840

Resposta

A temperatura final é aproximadamente 15,840 vezes a temperatura inicial, ou seja:
Tf approx 15,840 cdot T0

Exercícios relacionados