Um gás ideal sofre uma compressão adiabática no seu estado inicial com
e
para o estado final com
. Calcule,
O valor do coeficiente
desse gás.
O valor do coeficiente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um gás ideal que passa por uma compressão adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. A gente tem os dados iniciais de pressão (
), volume (
) e temperatura (
), e no final da compressão a pressão vira
e o volume diminui para
. Nosso objetivo é calcular o valor do coeficiente
desse gás, que está relacionado às propriedades termodinâmicas do gás durante o processo adiabático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
Aqui,
é o coeficiente que queremos encontrar. Isso significa que, para os estados inicial e final do gás, podemos escrever:
Onde
e
são a pressão e o volume finais.
Passo 3
Sabemos que a pressão final
é
e o volume final
é
. Substituindo esses valores na equação, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Isso fica assim:
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) dos dois lados:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Passo 7
Simplificamos as expressões dos logaritmos sabendo que
:
Aqui,
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar:
Resposta
O valor do coeficiente
desse gás é
.