Um gás ideal de volume 12 \mathrm{~m}^{3} sofre uma transformação, permanecendo sob pressão constante igual a 250 Pa . Qual é o volume do gás quando o trabalho realizado por ele for 2 kJ ?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que nos pedem):
  • Volume inicial: V_1 = 12\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão constante: P = 250\\ \mathrm{Pa}.
  • Trabalho realizado pelo gás: W = 2\\ \mathrm{kJ}.
    Pergunta: qual é o volume final V_2 do gás quando o trabalho realizado for 2\\ \mathrm{kJ}?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): o trabalho realizado por um gás quando seu volume varia é dado pela integral
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV,
onde:
  • W é o trabalho (em joules, \mathrm{J}),
  • P é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em metros cúbicos, \mathrm{m}^3),
  • a integral soma, geometricamente, a área sob a curva P vs V entre V_1 e V_2.

Passo 3

Caso especial (que é o nosso caso): se a pressão é constante durante a transformação, a integral fica muito simples porque P pode sair da integral:
W = P\int_{V_1}^{V_2} dV = P\,(V_2 - V_1).
Interpretação física rápida: se V_2>V_1 então W>0 (o gás realiza trabalho ao expandir); se V_2<V_1 então W<0 (trabalho é feito sobre o gás).

Passo 4

Converter unidades do trabalho para o SI (obrigatório para consistência):
W = 2\\ \mathrm{kJ} = 2000\\ \mathrm{J}.
Aqui usei que 1\\ \mathrm{kJ}=1000\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Isolar V_2 na fórmula W = P\,(V_2 - V_1). Fazendo a álgebra:
V_2 - V_1 = \frac{W}{P}\quad\Rightarrow\quad V_2 = V_1 + \frac{W}{P}.
Expliquei cada termo antes: V_1 é conhecido, W foi convertido para joules, P está em pascal; a razão \dfrac{W}{P} terá unidades de \mathrm{m}^3 porque \mathrm{J}/\mathrm{Pa}=(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m})/(\mathrm{N}/\mathrm{m}^2)=\mathrm{m}^3.

Passo 6

Substituir os valores e calcular passo a passo:
\frac{W}{P}=\frac{2000\\ \mathrm{J}}{250\\ \mathrm{Pa}}= \frac{2000}{250}\\ \mathrm{m}^3 = 8\\ \mathrm{m}^3.
Portanto
V_2 = V_1 + \frac{W}{P} = 12\\ \mathrm{m}^3 + 8\\ \mathrm{m}^3 = 20\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Verificação rápida e comentário encorajador: o resultado faz sentido fisicamente porque o trabalho dado é positivo (o gás fez 2\\ \mathrm{kJ}), então o volume aumentou de 12\\ \mathrm{m}^3 para 20\\ \mathrm{m}^3. Também conferimos unidades (o produto P\Delta V dá joules), então está consistente. Mandou bem chegando até aqui — essa técnica (usar W=P\Delta V para pressão constante) é exatamente a que cai em prova.

Resposta

V_2 = 20\\ \mathrm{m}^3

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