Em um gás ionizado (plasma), temos duas espécies de portadores livres: (1) cations com carga +\varepsilon, densidade numérica n e velocidade de arraste \vec{v}, e (2) anions corn carga -2 e e velocidade de arraste -\vec{v}. Sabendo que o plasma é localmente neutro, determine o vetor densidade corrente resultante \vec{J} em um ponto tipico em seu interior.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. -4ne \vec{v}
\bigcirc b. 4 n e \vec{v}
\bigcirc c. 2 n \in \vec{v}
\bigcirc d. \overrightarrow{\mathbf{0}}
\bigcirc e. -2 n e \vec{v}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o vetor densidade de corrente resultante \vec{J} num ponto do plasma, usando as informações dadas. Dados do enunciado (listados claramente):
  • Cátions: carga por partícula indicada como +\varepsilon no enunciado; vou interpretar esse símbolo como a carga elementar +e, porque as alternativas usam e. A densidade numérica (número de partículas por volume) dos cátions é \,n e a velocidade de arraste é \vec{v}.
  • Ânions: carga por partícula -2e e velocidade de arraste -\vec{v}.
  • Condição: o plasma é localmente neutro (densidade de carga líquida nula).
  • Objetivo: calcular o vetor densidade de corrente \vec{J} resultante e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Regra básica para corrente em um gás com várias espécies: a densidade de corrente elétrica é a soma das contribuições de cada espécie. Matematicamente,
\vec{J}=\sum_{i} n_i q_i \vec{v}_i,
onde:
  • n_i é a densidade numérica da i-ésima espécie (partículas por volume),
  • q_i é a carga de cada partícula da i-ésima espécie,
  • \vec{v}_i é a velocidade média de arraste dessa espécie,
  • \vec{J} tem unidades de carga por área por tempo (A/m ^2).
Explicação curta e intuitiva: cada partícula carrega carga q_i e transporta-a com velocidade \vec{v}_i; num pequeno volume há n_i partículas, logo a contribuição de corrente é n_i q_i \vec{v}_i. Somando todas as espécies obtemos a corrente total.

Passo 3

Uso da neutralidade local para relacionar as densidades. A neutralidade exige que a soma das densidades de carga seja zero:
n_{+} q_{+} + n_{-} q_{-} = 0.
Substituindo q_{+}=+e, q_{-}=-2e e n_{+}=n (dado):
n\cdot e + n_{-}\cdot(-2e)=0.
Dividindo ambos os lados por e (não nulo) e rearranjando:
n - 2 n_{-} = 0 \quad\Rightarrow\quad n_{-}=\frac{n}{2}.
Portanto a densidade numérica dos ânions é \,n_{-}=\dfrac{n}{2}.

Passo 4

Calculo das contribuições de corrente de cada espécie usando a fórmula do Passo 2.
Cátions:
\vec{J}_{+}=n_{+} q_{+}\vec{v}_{+}=n\cdot e\cdot \vec{v}=n e \vec{v}.
Ânions:
\vec{J}_{-}=n_{-} q_{-}\vec{v}_{-}=\frac{n}{2}\cdot(-2e)\cdot(-\vec{v}).
Agora simplifico passo a passo: \frac{n}{2}\cdot(-2e) = -n e. Multiplicando por -\vec{v} -n e \cdot (-\vec{v}) = n e \vec{v}. Logo
\vec{J}_{-}=n e \vec{v}.
Observação física útil: mesmo sendo cargas negativas, os ânions movendo-se na direção -\vec{v} produzem corrente na direção +\vec{v} — é por isso que ambas as parcelas ficaram com o mesmo sinal e direção.

Passo 5

Somando as contribuições:
\vec{J}=\vec{J}_{+}+\vec{J}_{-}=n e \vec{v} + n e \vec{v} = 2 n e \vec{v}.
Portanto a densidade de corrente resultante é \,2 n e \vec{v}.

Resposta

c. 2 n e \vec{v}

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