Formação de imagens por espelhos, superfícies esféricas e lentes
7) Um espelho esférico côncavo tem um raio de curvatura de 40 cm . Trace diagramas de raios para localizar a imagem (se esta existir) de um objeto situado a 100 \mathrm{~cm}, 40 \mathrm{~cm}, 20 cm e 10 cm . Em cada caso, verifique se a imagem é real ou virtual; ereta ou invertida; aumentada, reduzida ou do mesmo tamanho que o objeto.

Passo 1

O enunciado dá um espelho esférico côncavo com raio de curvatura \,R=40\\ \text{cm}\,. Pede-se, para objetos situados a \,100\\ \text{cm}\,,\;40\\ \text{cm}\,,\;20\\ \text{cm} e \,10\\ \text{cm}\, do espelho, que se localize a imagem (se existir) e que se verifique, para cada caso: (a) se a imagem é real ou virtual; (b) se é ereta ou invertida; (c) se é aumentada, reduzida ou do mesmo tamanho que o objeto. As informações relevantes fornecidas são portanto: \,R=40\\ \text{cm}\, e os quatro valores de distância do objeto \,d_o= \,100\\ \text{cm}\,,\;40\\ \text{cm}\,,\;20\\ \text{cm}\,,\;10\\ \text{cm}\,.

Passo 2

Vamos introduzir as fórmulas e convenções que usaremos (sem ainda calcular).
  • A distância focal \,f\, de um espelho esférico relaciona-se com o raio de curvatura por:
f=\frac{R}{2}.
Aqui \,R\, é o raio da superfície esférica e \,f\, é a distância do vértice do espelho ao foco.
  • A equação dos espelhos (espelho esférico) relaciona a distância do objeto \,d_o\,, a distância da imagem \,d_i\, e a focal \,f\,:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Nessa fórmula \,d_o\, e \,d_i\, são medidas a partir do vértice do espelho ao longo do eixo principal.
  • A ampliação linear (ou magnificação) é dada por:
m=-\frac{d_i}{d_o}.
Aqui \,m\, é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto; o sinal indica orientação: se \,m>0 a imagem é ereta (mesma orientação do objeto); se \,m<0 a imagem é invertida. O módulo |m| diz se a imagem é aumentada (|m|>1), reduzida (|m|<1) ou de mesmo tamanho (|m|=1).
  • Convenções de sinal que vamos usar (padrão de espelhos esféricos): \,d_o>0 para objeto real na frente do espelho; \,f>0 para espelho côncavo; \,d_i>0 se a imagem for real (formada na frente do espelho onde os raios realmente convergem) e \,d_i<0 se a imagem for virtual (formada “atrás” do espelho, onde os raios parecem divergir).

Passo 3

Calculemos a focal a partir do dado \,R=40\\ \text{cm}\,:
f=\frac{R}{2}=\frac{40\\ \text{cm}}{2}=20\\ \text{cm}.
Portanto usaremos \,f=20\\ \text{cm}\, nas contas da equação dos espelhos.

Passo 4

Explico rapidamente (didaticamente) como se faz o diagrama de raios prático para localizar a imagem num espelho côncavo. São suficientes três raios notáveis saindo do ápice (topo) do objeto (pense no objeto como uma flecha perpendicular ao eixo principal):
  • Raio 1: sai paralelo ao eixo principal → após reflexão passa pelo foco.
  • Raio 2: passa pelo foco em direção ao espelho → após reflexão sai paralelo ao eixo principal.
  • Raio 3: passa pelo centro de curvatura \,C\, (ponto a distância \,R\, do vértice) → incide radialmente e reflete sobre si mesmo (volta pela mesma reta), porque incide na superfície perpendicular ao raio.
    A imagem é o ponto onde dois (ou mais) desses raios refletem e se cruzam. Se os raios refletidos se cruzam na frente do espelho, a imagem é real; se não se cruzam mas suas extensões para trás do espelho se cruzam, a imagem é virtual (aparece atrás do espelho). Em cada caso abaixo vou usar também a equação dos espelhos para obter \,d_i\, e a ampliação \,m\,, e descrever o diagrama de raios correspondente.

Passo 5

  1. Usamos a equação dos espelhos com \,f=20\\ \text{cm} e \,d_o=100\\ \text{cm}:
\frac{1}{20}=\frac{1}{100}+\frac{1}{d_i}.
  1. Isolando \,\frac{1}{d_i}\,:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{20}-\frac{1}{100}=\frac{5-1}{100}=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}.
Logo
d_i=25\\ \text{cm}.
  1. A ampliação é
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{25}{100}=-0{,}25.
Interpretação (usando os sinais): \,d_i>0 implica que a imagem é real e está formada na frente do espelho a \,25\\ \text{cm} do vértice; \,m<0 indica que a imagem é invertida; |m|=0{,}25<1 indica que a imagem é reduzida (tem um quarto da altura do objeto).
4) Diagrama de raios (descrição para você desenhar na prova): o objeto está além do centro de curvatura \,C (pois \,d_o=100\\ \text{cm}>R=40\\ \text{cm}). Ray 1 (paralelo) reflete passando pelo foco \,F a \,20\\ \text{cm}; Ray 3 (direto para o centro de curvatura) volta sobre si; a interseção dos raios refletidos ocorre entre \,F e \,C a \,25\\ \text{cm} do vértice, formando uma imagem real, invertida e reduzida.

Passo 6

  1. Use a equação com \,d_o=40\\ \text{cm}:
\frac{1}{20}=\frac{1}{40}+\frac{1}{d_i}.
  1. Isolando \,\frac{1}{d_i}\,:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{20}-\frac{1}{40}=\frac{2-1}{40}=\frac{1}{40}.
Logo
d_i=40\\ \text{cm}.
  1. Ampliação:
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{40}{40}=-1.
Interpretação: \,d_i>0 ⇒ imagem real, localizada exatamente em C (a mesma distância do vértice que o objeto); \,m=-1 ⇒ imagem invertida ( m<0) e de mesmo tamanho que o objeto ( |m|=1).
4) Diagrama de raios: com o objeto colocado no centro de curvatura \,C, um raio através de C retorna sobre si e outro raio paralelo passa pelo foco; a interseção dos raios refletidos dá a imagem em C, invertida e do mesmo tamanho.

Passo 7

  1. Substituindo \,d_o=f=20\\ \text{cm} na equação:
\frac{1}{20}=\frac{1}{20}+\frac{1}{d_i}.
  1. Assim
\frac{1}{d_i}=0\quad\Rightarrow\quad d_i=\infty.
  1. Ampliação formal:
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{\infty}{20}=-\infty,
o que significa que a imagem seria infinitamente grande (na prática não há imagem formada a uma distância finita). Interpretação física: um objeto colocado exatamente no foco faz com que os raios refletidos saiam paralelos ao eixo; portanto não há ponto de encontro finito dos raios refletidos — a imagem está na direção do infinito (dizemos que a imagem está em infinito).
4) Quanto a real/virtual/ereção: não se forma uma imagem finita nem virtual atrás do espelho; as linhas de raio refletidas são paralelas e não se cruzam a uma distância finita, por isso não é possível formar uma imagem em tela; a imagem é “no infinito” e, em termos práticos para a prova, você deve responder: imagem no infinito (não há imagem finita), ampliação muito grande (tende ao infinito). A orientação (ereta/invertida) não é aplicável de forma útil para uma imagem no infinito — usualmente dizemos que os raios forma uma imagem muito aumentada.

Passo 8

  1. Usando \,d_o=10\\ \text{cm} na equação:
\frac{1}{20}=\frac{1}{10}+\frac{1}{d_i}.
  1. Isolando \,\frac{1}{d_i}\,:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{20}-\frac{1}{10}=\frac{1-2}{20}=-\frac{1}{20}.
Logo
d_i=-20\\ \text{cm}.
  1. Ampliação:
m=-\frac{d_i}{d_o}=-\frac{-20}{10}=+2.
Interpretação dos sinais: \,d_i<0 indica que a imagem é virtual (formada atrás do espelho onde os raios refletidos não se encontram, mas suas extensões se encontram). \,m>0 ⇒ imagem ereta (mesma orientação do objeto). |m|=2>1 ⇒ imagem aumentada (duas vezes a altura do objeto).
4) Diagrama de raios (descrição para desenhar): com o objeto dentro do foco ( d_o<f), o raio que sai paralelo ao eixo reflete passando pelo foco, o raio que aponta para o foco reflete paralelo; esses raios refletem divergentes — eles não se cruzam na frente do espelho; prosseguindo as retas refletidas para trás (estendendo-as) elas se cruzam atrás do espelho a \,20\\ \text{cm} do vértice, dando uma imagem virtual, ereta e aumentada.

Resposta

Para \,d_o=100\\ \text{cm}:\\ d_i=25\\ \text{cm}; imagem real; invertida; reduzida ( m=-0{,}25).
Para \,d_o=40\\ \text{cm}:\\ d_i=40\\ \text{cm}; imagem real; invertida; mesmo tamanho ( m=-1).
Para \,d_o=20\\ \text{cm}:\\ d_i=\infty; imagem no infinito (sem imagem finita); ampliação tende ao infinito (não é aplicável ereta/invertida em termos práticos).
Para \,d_o=10\\ \text{cm}:\\ d_i=-20\\ \text{cm}; imagem virtual; ereta; aumentada ( m=+2).

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