Formação de imagens por espelhos, superfícies esféricas e lentes
7) Um espelho esférico côncavo tem um raio de curvatura de 40 cm . Trace diagramas de raios para localizar a imagem (se esta existir) de um objeto situado a
, 20 cm e 10 cm . Em cada caso, verifique se a imagem é real ou virtual; ereta ou invertida; aumentada, reduzida ou do mesmo tamanho que o objeto.
7) Um espelho esférico côncavo tem um raio de curvatura de 40 cm . Trace diagramas de raios para localizar a imagem (se esta existir) de um objeto situado a
Passo 1
O enunciado dá um espelho esférico côncavo com raio de curvatura
. Pede-se, para objetos situados a
e
do espelho, que se localize a imagem (se existir) e que se verifique, para cada caso: (a) se a imagem é real ou virtual; (b) se é ereta ou invertida; (c) se é aumentada, reduzida ou do mesmo tamanho que o objeto. As informações relevantes fornecidas são portanto:
e os quatro valores de distância do objeto
.
Passo 2
Vamos introduzir as fórmulas e convenções que usaremos (sem ainda calcular).
- A distância focal
de um espelho esférico relaciona-se com o raio de curvatura por:
Aqui
é o raio da superfície esférica e
é a distância do vértice do espelho ao foco.
- A equação dos espelhos (espelho esférico) relaciona a distância do objeto
, a distância da imagem e a focal :
Nessa fórmula
e
são medidas a partir do vértice do espelho ao longo do eixo principal.
- A ampliação linear (ou magnificação) é dada por:
Aqui
é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto; o sinal indica orientação: se
a imagem é ereta (mesma orientação do objeto); se
a imagem é invertida. O módulo
diz se a imagem é aumentada
, reduzida
ou de mesmo tamanho
.
- Convenções de sinal que vamos usar (padrão de espelhos esféricos):
para objeto real na frente do espelho; para espelho côncavo; se a imagem for real (formada na frente do espelho onde os raios realmente convergem) e se a imagem for virtual (formada “atrás” do espelho, onde os raios parecem divergir).
Passo 3
Calculemos a focal a partir do dado
:
Portanto usaremos
nas contas da equação dos espelhos.
Passo 4
Explico rapidamente (didaticamente) como se faz o diagrama de raios prático para localizar a imagem num espelho côncavo. São suficientes três raios notáveis saindo do ápice (topo) do objeto (pense no objeto como uma flecha perpendicular ao eixo principal):
- Raio 1: sai paralelo ao eixo principal → após reflexão passa pelo foco.
- Raio 2: passa pelo foco em direção ao espelho → após reflexão sai paralelo ao eixo principal.
- Raio 3: passa pelo centro de curvatura
(ponto a distância do vértice) → incide radialmente e reflete sobre si mesmo (volta pela mesma reta), porque incide na superfície perpendicular ao raio.
A imagem é o ponto onde dois (ou mais) desses raios refletem e se cruzam. Se os raios refletidos se cruzam na frente do espelho, a imagem é real; se não se cruzam mas suas extensões para trás do espelho se cruzam, a imagem é virtual (aparece atrás do espelho). Em cada caso abaixo vou usar também a equação dos espelhos para obtere a ampliação , e descrever o diagrama de raios correspondente.
Passo 5
- Usamos a equação dos espelhos com
e :
- Isolando
:
Logo
- A ampliação é
Interpretação (usando os sinais):
implica que a imagem é real e está formada na frente do espelho a
do vértice;
indica que a imagem é invertida;
indica que a imagem é reduzida (tem um quarto da altura do objeto).
4) Diagrama de raios (descrição para você desenhar na prova): o objeto está além do centro de curvatura (pois
). Ray 1 (paralelo) reflete passando pelo foco
a
; Ray 3 (direto para o centro de curvatura) volta sobre si; a interseção dos raios refletidos ocorre entre
e
a
do vértice, formando uma imagem real, invertida e reduzida.
4) Diagrama de raios (descrição para você desenhar na prova): o objeto está além do centro de curvatura
Passo 6
- Use a equação com
:
- Isolando
:
Logo
- Ampliação:
Interpretação:
⇒ imagem real, localizada exatamente em
(a mesma distância do vértice que o objeto);
⇒ imagem invertida (
) e de mesmo tamanho que o objeto (
).
4) Diagrama de raios: com o objeto colocado no centro de curvatura , um raio através de
retorna sobre si e outro raio paralelo passa pelo foco; a interseção dos raios refletidos dá a imagem em
, invertida e do mesmo tamanho.
4) Diagrama de raios: com o objeto colocado no centro de curvatura
Passo 7
- Substituindo
na equação:
- Assim
- Ampliação formal:
o que significa que a imagem seria infinitamente grande (na prática não há imagem formada a uma distância finita). Interpretação física: um objeto colocado exatamente no foco faz com que os raios refletidos saiam paralelos ao eixo; portanto não há ponto de encontro finito dos raios refletidos — a imagem está na direção do infinito (dizemos que a imagem está em infinito).
4) Quanto a real/virtual/ereção: não se forma uma imagem finita nem virtual atrás do espelho; as linhas de raio refletidas são paralelas e não se cruzam a uma distância finita, por isso não é possível formar uma imagem em tela; a imagem é “no infinito” e, em termos práticos para a prova, você deve responder: imagem no infinito (não há imagem finita), ampliação muito grande (tende ao infinito). A orientação (ereta/invertida) não é aplicável de forma útil para uma imagem no infinito — usualmente dizemos que os raios forma uma imagem muito aumentada.
4) Quanto a real/virtual/ereção: não se forma uma imagem finita nem virtual atrás do espelho; as linhas de raio refletidas são paralelas e não se cruzam a uma distância finita, por isso não é possível formar uma imagem em tela; a imagem é “no infinito” e, em termos práticos para a prova, você deve responder: imagem no infinito (não há imagem finita), ampliação muito grande (tende ao infinito). A orientação (ereta/invertida) não é aplicável de forma útil para uma imagem no infinito — usualmente dizemos que os raios forma uma imagem muito aumentada.
Passo 8
- Usando
na equação:
- Isolando
:
Logo
- Ampliação:
Interpretação dos sinais:
indica que a imagem é virtual (formada atrás do espelho onde os raios refletidos não se encontram, mas suas extensões se encontram).
⇒ imagem ereta (mesma orientação do objeto).
⇒ imagem aumentada (duas vezes a altura do objeto).
4) Diagrama de raios (descrição para desenhar): com o objeto dentro do foco ( ), o raio que sai paralelo ao eixo reflete passando pelo foco, o raio que aponta para o foco reflete paralelo; esses raios refletem divergentes — eles não se cruzam na frente do espelho; prosseguindo as retas refletidas para trás (estendendo-as) elas se cruzam atrás do espelho a
do vértice, dando uma imagem virtual, ereta e aumentada.
4) Diagrama de raios (descrição para desenhar): com o objeto dentro do foco (
Resposta
Para
imagem real; invertida; reduzida (
).
Para imagem real; invertida; mesmo tamanho (
).
Para imagem no infinito (sem imagem finita); ampliação tende ao infinito (não é aplicável ereta/invertida em termos práticos).
Para imagem virtual; ereta; aumentada (
).
Para
Para
Para