Formação de imagens por espelhos, superfícies esféricas e lentes
19) Determine a distancia da imagem e verifique se a imagem é real ou virtual e desenhe o diagrama de raios para uma lente delgada no ar com as seguintes condições:
a) p=+20 \mathrm{~cm} e f=10 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar a distância da imagem (em relação à lente).
  • Verificar se a imagem é real ou virtual.
  • Desenhar (explicar como desenhar) o diagrama de raios para a lente.
Informações dadas:
  • A lente é delgada e está no ar.
  • p=+20\\ \mathrm{cm} (distância do objeto até a lente).
  • f=10\\ \mathrm{cm} (foco da lente).

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão para lentes delgadas (apresento a fórmula e explico cada símbolo):
A equação dos fabricantes de lentes é
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
onde:
  • f é a distância focal da lente. Se f>0 a lente é convergente (foco real); se f<0 é divergente.
  • p é a distância do objeto até a lente (também chamada de d_o). Pelo enunciado temos p=+20\\ \mathrm{cm}. O sinal + indica que o objeto está do lado “de entrada” da luz — isto é, é um objeto real.
  • q é a distância da imagem até a lente (também chamada de d_i). O sinal de q determina a natureza da imagem: q>0 indica imagem real formada do lado oposto ao objeto (pode ser projetada num anteparo); q<0 indica imagem virtual (do mesmo lado do objeto) que não pode ser projetada.
Essa equação vem da geometria dos triângulos formados pelos raios principais passando pela lente; mais abaixo eu mostro um esboço dessa ideia.

Passo 3

Agora substituímos os valores conhecidos na equação para achar q. Começamos manipulando algebricamente:
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
Substituindo f=10\\ \mathrm{cm} e p=20\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{q}=\frac{1}{10}-\frac{1}{20}.
Calcule passo a passo: coloque um denominador comum 20:
\frac{1}{q}=\frac{2}{20}-\frac{1}{20}=\frac{1}{20}.
Portanto
q=20\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Interpretação do sinal e da posição:
  • Obtivemos q=+20\\ \mathrm{cm} (positivo). Pelo nosso critério de sinais isso significa que a imagem é real e está do lado oposto ao objeto, a 20\\ \mathrm{cm} da lente. Em linguagem prática: os raios que saem do objeto passam pela lente e convergem para um ponto 20\\ \mathrm{cm} à direita da lente (se o objeto estiver à esquerda).
  • Como q é positivo, a imagem pode ser formada num anteparo (ex.: uma tela) — sinal de imagem real.

Passo 5

Agora determinamos o tamanho e a orientação da imagem usando a ampliação (magnificação). A fórmula da ampliação linear é
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{q}{p},
onde:
  • h_o é a altura do objeto,
  • h_i é a altura da imagem,
  • o sinal de m indica orientação: m>0 imagem direita; m<0 imagem invertida.
Substituindo q=20\\ \mathrm{cm} e p=20\\ \mathrm{cm}:
m=-\frac{20}{20}=-1.
Significado:
  • |m|=1 indica que a imagem tem o mesmo tamanho do objeto.
  • m=-1 indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (girou 180° no plano vertical).

Passo 6

Como desenhar o diagrama de raios (passo a passo prático para a prova — desenhe grande o bastante e marcando distâncias):
  1. Desenhe uma reta horizontal: eixo óptico.
  2. Desenhe a lente delgada como uma linha vertical no centro; marque nela o centro óptico O.
  3. Marque à esquerda do centro os pontos F_L e 2F_L: F_L a 10\\ \mathrm{cm} e 2F_L a 20\\ \mathrm{cm} (pegue uma escala, ex.: 1 cm no papel = 5 cm reais). Marque igualmente à direita F_R e 2F_R.
  4. Coloque o objeto à esquerda da lente em p=20\\ \mathrm{cm} (ou seja, no ponto 2F_L). Desenhe o objeto como uma seta vertical apontando para cima sobre o eixo, com alguma altura h_o.
  5. Trace os três raios principais (eles são suficientes para localizar a imagem):
    • Raio 1 (paralelo → foco): do topo da seta, desenhe um raio que vai paralelo ao eixo até a lente; depois da lente esse raio refrata passando pelo foco direito F_R.
    • Raio 2 (central): do topo da seta, desenhe um raio que passa pelo centro óptico O da lente; esse raio continua praticamente em linha reta, sem desvio apreciável (em lente delgada assumimos sem desvio).
    • Raio 3 (foco → paralelo): do topo da seta, desenhe um raio que vai em direção ao foco esquerdo F_L antes de atingir a lente; após atravessar a lente esse raio sai paralelo ao eixo para a direita.
  6. Os dois raios refratados que saem à direita (por exemplo, o que vem do centro e o que sai paralelo) se interceptam em um ponto à direita da lente. Marque essa interseção: é o topo da imagem. Você verá essa interseção a 20\\ \mathrm{cm} à direita do centro (isto é, em 2F_R), e a seta imagem terá a mesma altura do objeto, porém apontando para baixo (invertida).
Dica de prova: para lentes convergentes com p=2f (aqui 20=2\cdot10), a regra rápida é: imagem em q=2f, real, invertida e do mesmo tamanho. Memorize esse caso especial — é clássico.

Passo 7

Breve justificativa geométrica (por que m=-q/p e a equação da lente funcionam):
Usando semelhança de triângulos entre o triângulo formado pelo objeto e os triângulos formados pelos raios refratados, obtém-se
\frac{h_i}{h_o}=-\frac{q}{p},
e, relacionando as distâncias focais com essas semelhanças também surge
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
Na prova não precisa derivar inteiramente — basta lembrar as fórmulas e saber aplicá-las com cuidado quanto aos sinais.

Passo 8

Resumo final e incentivo rápido: o caso p=2f é um coringa — dá imagem real em 2f, invertida e mesmo tamanho. Você segurou o raciocínio: lente convergente, objeto em 2f → imagem em 2f, invertida, mesma altura. Dá para desenhar rápido em 1–2 minutos na prova seguindo os três raios principais. Vai dar certo — respira fundo e pratica mais um exemplo desse que é fácil de fixar.

Resposta

q=+20\\ \mathrm{cm}
Imagem real, formada 20\\ \mathrm{cm} à direita da lente; invertida e de mesmo tamanho (ampliação m=-1).

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