Formação de imagens por espelhos, superfícies esféricas e lentes
19) Determine a distancia da imagem e verifique se a imagem é real ou virtual e desenhe o diagrama de raios para uma lente delgada no ar com as seguintes condições:
a)
e
19) Determine a distancia da imagem e verifique se a imagem é real ou virtual e desenhe o diagrama de raios para uma lente delgada no ar com as seguintes condições:
a)
Passo 1
O enunciado pede:
- Determinar a distância da imagem (em relação à lente).
- Verificar se a imagem é real ou virtual.
- Desenhar (explicar como desenhar) o diagrama de raios para a lente.
Informações dadas:
- A lente é delgada e está no ar.
-
(distância do objeto até a lente). -
(foco da lente).
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão para lentes delgadas (apresento a fórmula e explico cada símbolo):
A equação dos fabricantes de lentes é
A equação dos fabricantes de lentes é
onde:
-
é a distância focal da lente. Se a lente é convergente (foco real); se é divergente. -
é a distância do objeto até a lente (também chamada de ). Pelo enunciado temos . O sinal indica que o objeto está do lado “de entrada” da luz — isto é, é um objeto real. -
é a distância da imagem até a lente (também chamada de ). O sinal de determina a natureza da imagem: indica imagem real formada do lado oposto ao objeto (pode ser projetada num anteparo); indica imagem virtual (do mesmo lado do objeto) que não pode ser projetada.
Essa equação vem da geometria dos triângulos formados pelos raios principais passando pela lente; mais abaixo eu mostro um esboço dessa ideia.
Passo 3
Agora substituímos os valores conhecidos na equação para achar
. Começamos manipulando algebricamente:
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo: coloque um denominador comum
:
Portanto
Passo 4
Interpretação do sinal e da posição:
- Obtivemos
(positivo). Pelo nosso critério de sinais isso significa que a imagem é real e está do lado oposto ao objeto, a da lente. Em linguagem prática: os raios que saem do objeto passam pela lente e convergem para um ponto à direita da lente (se o objeto estiver à esquerda). - Como
é positivo, a imagem pode ser formada num anteparo (ex.: uma tela) — sinal de imagem real.
Passo 5
Agora determinamos o tamanho e a orientação da imagem usando a ampliação (magnificação). A fórmula da ampliação linear é
onde:
-
é a altura do objeto, -
é a altura da imagem, - o sinal de
indica orientação: imagem direita; imagem invertida.
Substituindo
e
:
Significado:
-
indica que a imagem tem o mesmo tamanho do objeto. -
indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (girou 180° no plano vertical).
Passo 6
Como desenhar o diagrama de raios (passo a passo prático para a prova — desenhe grande o bastante e marcando distâncias):
- Desenhe uma reta horizontal: eixo óptico.
- Desenhe a lente delgada como uma linha vertical no centro; marque nela o centro óptico
. - Marque à esquerda do centro os pontos
e : a e a (pegue uma escala, ex.: 1 cm no papel = 5 cm reais). Marque igualmente à direita e . - Coloque o objeto à esquerda da lente em
(ou seja, no ponto ). Desenhe o objeto como uma seta vertical apontando para cima sobre o eixo, com alguma altura . - Trace os três raios principais (eles são suficientes para localizar a imagem):
- Raio 1 (paralelo → foco): do topo da seta, desenhe um raio que vai paralelo ao eixo até a lente; depois da lente esse raio refrata passando pelo foco direito
. - Raio 2 (central): do topo da seta, desenhe um raio que passa pelo centro óptico
da lente; esse raio continua praticamente em linha reta, sem desvio apreciável (em lente delgada assumimos sem desvio). - Raio 3 (foco → paralelo): do topo da seta, desenhe um raio que vai em direção ao foco esquerdo
antes de atingir a lente; após atravessar a lente esse raio sai paralelo ao eixo para a direita.
- Raio 1 (paralelo → foco): do topo da seta, desenhe um raio que vai paralelo ao eixo até a lente; depois da lente esse raio refrata passando pelo foco direito
- Os dois raios refratados que saem à direita (por exemplo, o que vem do centro e o que sai paralelo) se interceptam em um ponto à direita da lente. Marque essa interseção: é o topo da imagem. Você verá essa interseção a
à direita do centro (isto é, em ), e a seta imagem terá a mesma altura do objeto, porém apontando para baixo (invertida).
Dica de prova: para lentes convergentes com
(aqui
), a regra rápida é: imagem em
, real, invertida e do mesmo tamanho. Memorize esse caso especial — é clássico.
Passo 7
Breve justificativa geométrica (por que
e a equação da lente funcionam):
Usando semelhança de triângulos entre o triângulo formado pelo objeto e os triângulos formados pelos raios refratados, obtém-se
Usando semelhança de triângulos entre o triângulo formado pelo objeto e os triângulos formados pelos raios refratados, obtém-se
e, relacionando as distâncias focais com essas semelhanças também surge
Na prova não precisa derivar inteiramente — basta lembrar as fórmulas e saber aplicá-las com cuidado quanto aos sinais.
Passo 8
Resumo final e incentivo rápido: o caso
é um coringa — dá imagem real em
, invertida e mesmo tamanho. Você segurou o raciocínio: lente convergente, objeto em
→ imagem em
, invertida, mesma altura. Dá para desenhar rápido em 1–2 minutos na prova seguindo os três raios principais. Vai dar certo — respira fundo e pratica mais um exemplo desse que é fácil de fixar.
Resposta
Imagem real, formada