Um gás monoatômico ideal sofre uma expansão adiabática onde seu volume passa de
para
.Para uma transformação adiabática temos:
const.(a)Usando
,calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão em temos de
(final e inicial)e da razão
.(b)Aplicando a
Lei da termodinâmica,calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.(c)Mostre que os resultados obtidos nos itens anteriores são equivalentes.(
ponto).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente as informações que temos e as perguntas):
- Informação: gás monoatômico ideal sofre expansão adiabática de volume inicial
para volume final . - Informação: em uma adiabática reversível vale
constante; denotaremos essa constante por . - Informação:
é a razão dos calores molares em pressão e volume constantes: . - Pedido (a): usando
, calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão em termos de , (inicial e final) e . - Pedido (b): usando a Primeira Lei da Termodinâmica, calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
- Pedido (c): mostrar que os resultados dos itens (a) e (b) são equivalentes.
Observação sobre convenções de sinais que vamos usar:
será o trabalho realizado pelo gás (ou seja, positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Na Primeira Lei usaremos a forma
onde
é calor recebido pelo sistema. Em adiabática temos
.
Passo 2
Vamos calcular o trabalho pela integral direta
.
Primeiro usemos a lei adiabática para expressar
como função de
. Como
temos
A constante
pode ser escrita em termos das condições inicial ou final:
onde
e
são as pressões inicial e final (caso sejam disponibilizadas).
Agora substituímos em
:
Integramos usando a regra da potência. Para
,
Portanto
Passo 3
Agora vamos escrever esse resultado em termos de
e
iniciais/finais, substituindo
(ou
). Usando
e
(porque
), obtemos
Essa forma é prática e já está em termos de
.
Para deixar o denominador positivo, podemos também reescrever isolando o sinal:
Ambas as formas são algebraicamente idênticas (porque
). Note que para uma expansão adiabática típica
e, como
, o resultado
(o gás realiza trabalho).
Passo 4
Agora calculamos
usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
Como a transformação é adiabática,
. Pela forma da Primeira Lei:
Portanto
Para um gás ideal, a variação da energia interna depende só da temperatura. Para
mols do gás:
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante. Logo
Agora convertemos as temperaturas em
usando a equação de estado do gás ideal:
Substituindo em
:
Logo
Passo 5
Relação entre
,
e
. Da definição
e da relação
, obtemos
Substituindo esse
na expressão de
obtida pela Primeira Lei:
Isso coincide exatamente com a forma obtida pela integração direta em \
Passo 6
Passo 7
Conclusão interpretativa e verificação de consistência (rápido incentivo): os dois métodos — integrar
usando a lei adiabática e aplicar a Primeira Lei com
e a expressão de
para gás ideal — chegam à mesma fórmula. Isso é esperado e é um bom exercício para ganhar confiança em usar tanto a integral quanto a termodinâmica. Se quiser, para o caso monoatômico particular usa-se
e
, e a mesma fórmula vale com esses valores numéricos.
Resposta
(a)
(b)
(c) São equivalentes porque
, o que transforma a expressão do item (b) exatamente na expressão do item (a).