Um gás monoatômico ideal sofre uma expansão adiabática onde seu volume passa de V_{i} para V_{f} .Para uma transformação adiabática temos: p \cdot V^{\gamma}= const.(a)Usando w=\int p \cdot d V ,calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão em temos de \mathrm{P}, \mathrm{V}(final e inicial)e da razão \gamma=C_{p} / C_{V} .(b)Aplicando a 1^{\mathrm{s}} Lei da termodinâmica,calcule o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.(c)Mostre que os resultados obtidos nos itens anteriores são equivalentes.( \mathbf{1 , 5} ponto).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente as informações que temos e as perguntas):
  • Informação: gás monoatômico ideal sofre expansão adiabática de volume inicial \,V_i para volume final \,V_f.
  • Informação: em uma adiabática reversível vale \,p\,V^{\gamma}= constante; denotaremos essa constante por \,K.
  • Informação: \gamma é a razão dos calores molares em pressão e volume constantes: \,\gamma = C_p/C_V.
  • Pedido (a): usando W=\int p\,dV, calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão em termos de p, V (inicial e final) e \gamma.
  • Pedido (b): usando a Primeira Lei da Termodinâmica, calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.
  • Pedido (c): mostrar que os resultados dos itens (a) e (b) são equivalentes.
Observação sobre convenções de sinais que vamos usar: W será o trabalho realizado pelo gás (ou seja, positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). Na Primeira Lei usaremos a forma
\Delta U = Q - W,
onde Q é calor recebido pelo sistema. Em adiabática temos Q=0.

Passo 2

Vamos calcular o trabalho pela integral direta W=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f} p\,dV.
Primeiro usemos a lei adiabática para expressar p como função de V. Como pV^{\gamma}=K temos
p(V)=K\,V^{-\gamma}.
A constante K pode ser escrita em termos das condições inicial ou final:
K = p_i V_i^{\gamma} = p_f V_f^{\gamma},
onde p_i e p_f são as pressões inicial e final (caso sejam disponibilizadas).
Agora substituímos em W:
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV = \int_{V_i}^{V_f} K\,V^{-\gamma}\,dV.
Integramos usando a regra da potência. Para \gamma\neq 1,
\int V^{-\gamma}\,dV = \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}.
Portanto
W = K\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_i}^{V_f} = \frac{K}{1-\gamma}\bigl(V_f^{\,1-\gamma}-V_i^{\,1-\gamma}\bigr).

Passo 3

Agora vamos escrever esse resultado em termos de p e V iniciais/finais, substituindo K=p_i V_i^{\gamma} (ou p_f V_f^{\gamma}). Usando K V_f^{\,1-\gamma}=p_f V_f e K V_i^{\,1-\gamma}=p_i V_i (porque K V^{1-\gamma}=pV), obtemos
W = \frac{1}{1-\gamma}\bigl(p_f V_f - p_i V_i\bigr).
Essa forma é prática e já está em termos de p_i,V_i,p_f,V_f.
Para deixar o denominador positivo, podemos também reescrever isolando o sinal:
W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma-1}.
Ambas as formas são algebraicamente idênticas (porque \gamma-1=-(1-\gamma)). Note que para uma expansão adiabática típica p_f V_f<p_i V_i e, como \gamma>1, o resultado W>0 (o gás realiza trabalho).

Passo 4

Agora calculamos W usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
Como a transformação é adiabática, Q=0. Pela forma da Primeira Lei:
\Delta U = Q - W \quad\Rightarrow\quad \Delta U = -W.
Portanto
W = -\Delta U.
Para um gás ideal, a variação da energia interna depende só da temperatura. Para n mols do gás:
\Delta U = n C_V (T_f - T_i),
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante. Logo
W = -n C_V (T_f - T_i) = n C_V (T_i - T_f).
Agora convertemos as temperaturas em pV usando a equação de estado do gás ideal:
pV = nR T \quad\Rightarrow\quad T=\frac{pV}{nR}.
Substituindo em \Delta U:
\Delta U = n C_V \left(\frac{p_f V_f}{nR}-\frac{p_i V_i}{nR}\right) = \frac{C_V}{R}\bigl(p_f V_f - p_i V_i\bigr).
Logo
W = -\Delta U = -\frac{C_V}{R}\bigl(p_f V_f - p_i V_i\bigr) = \frac{C_V}{R}\bigl(p_i V_i - p_f V_f\bigr).

Passo 5

Relação entre C_V, R e \gamma. Da definição \gamma = C_p / C_V e da relação C_p = C_V + R, obtemos
\gamma = 1 + \frac{R}{C_V}\quad\Rightarrow\quad \gamma - 1 = \frac{R}{C_V} \quad\Rightarrow\quad C_V = \frac{R}{\gamma-1}.
Substituindo esse C_V na expressão de W obtida pela Primeira Lei:
W = \frac{C_V}{R}\bigl(p_i V_i - p_f V_f\bigr) = \frac{1}{\gamma-1}\bigl(p_i V_i - p_f V_f\bigr).
Isso coincide exatamente com a forma obtida pela integração direta em \

Passo 6

W = \frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma-1} = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{1-\gamma}.

Passo 7

Conclusão interpretativa e verificação de consistência (rápido incentivo): os dois métodos — integrar W=\int p\,dV usando a lei adiabática e aplicar a Primeira Lei com Q=0 e a expressão de \Delta U para gás ideal — chegam à mesma fórmula. Isso é esperado e é um bom exercício para ganhar confiança em usar tanto a integral quanto a termodinâmica. Se quiser, para o caso monoatômico particular usa-se \gamma=\tfrac{5}{3} e C_V=\tfrac{3}{2}R, e a mesma fórmula vale com esses valores numéricos.

Resposta

(a) \displaystyle W=\frac{p_f V_f - p_i V_i}{1-\gamma}=\frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma-1}.
(b) \displaystyle W=\frac{C_V}{R}\bigl(p_i V_i - p_f V_f\bigr)=\frac{p_i V_i - p_f V_f}{\gamma-1}.
(c) São equivalentes porque \displaystyle C_V=\frac{R}{\gamma-1}, o que transforma a expressão do item (b) exatamente na expressão do item (a).

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