Dentre as medidas diretas realizadas na peça do furo cego, quais aquelas que podem contribuir para uma maior incerteza na medida indireta do volume? Por quê?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais medidas diretas normalmente feitas no furo cego:
  • Pergunta: identificar quais medidas diretas feitas na peça (furo cego) podem contribuir mais para a incerteza na medida indireta do volume e por quê.
  • Medidas diretas típicas (essas são as que vamos considerar):
    • Diâmetro interno do furo: d (medido com paquímetro, micrômetro de interior, calibre de diâmetro, etc.).
    • Profundidade do furo: h (medida com paquímetro, micrômetro de profundidade, relógio comparador + batente, etc.).
    • Eventuais medições auxiliares: diâmetro em várias posições ao longo da profundidade (para detectar taper), rugosidade/irregularidades do fundo, presença de chanfro ou fundo arredondado (essas mudam o modelo geométrico usado para o volume).
  • Objetivo prático: saber qual dessas medidas merece mais cuidado porque, ao calcular o volume indiretamente, seu erro terá maior impacto no resultado final.

Passo 2

Fórmula do volume do furo (modelo mais comum: furo cilíndrico simples, sem chanfro)
  • Se o furo for aproximado por um cilindro com diâmetro d e profundidade h, o volume do material removido (volume do cilindro) é
V = \pi \dfrac{d^{2}}{4}\, h.
  • Aqui: V é o volume (unidade: por ex. \text{mm}^{3}), d o diâmetro interno do furo (por ex. \text{mm}), e h a profundidade útil (por ex. \text{mm}).

Passo 3

Como se propaga a incerteza em uma medida indireta — ideia chave (explicação didática)
  • Regra geral (primeira ordem, aproximação linear): se V=f(x,y,\dots) e cada variável tem incerteza combinada padrão u(x),u(y),\dots (assumindo erros independentes), a incerteza padrão em V é
u(V)=\sqrt{\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}u(x)\right)^{2}+\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}u(y)\right)^{2}+\cdots }.
  • O que isso diz em palavras: cada variável contribui para a incerteza de V de acordo com quanto V muda se essa variável muda (a derivada parcial) multiplicado pela incerteza nessa variável. Variáveis que influenciam V “mais fortemente” (derivada maior) e/ou têm maior incerteza u(\cdot) dão maior contribuição.

Passo 4

Aplicando a propagação ao volume do cilindro — cálculo das derivadas
  • Aplicando a fórmula ao nosso V=\pi d^{2}h/4, calculamos as derivadas parciais:
\dfrac{\partial V}{\partial d}=\pi\dfrac{d\,h}{2}, \qquad \dfrac{\partial V}{\partial h}=\pi\dfrac{d^{2}}{4}.
  • Assim, a incerteza combinada de V (assumindo d e h independentes) é
u(V)=\sqrt{\left(\pi\dfrac{d\,h}{2}\;u(d)\right)^{2}+\left(\pi\dfrac{d^{2}}{4}\;u(h)\right)^{2}}.

Passo 5

Forma relativa (muito útil para comparar contribuições)
  • Dividindo por V=\pi d^{2}h/4 obtemos a incerteza relativa:
\dfrac{u(V)}{V}=\sqrt{\left(2\,\dfrac{u(d)}{d}\right)^{2}+\left(\dfrac{u(h)}{h}\right)^{2}}.
  • Interpretação imediata e útil: a incerteza relativa do diâmetro aparece multiplicada por 2 (porque V\propto d^{2}), enquanto a incerteza relativa da profundidade aparece com fator 1.

Passo 6

Conclusão principal sobre quais medidas contribuem mais (resposta direta e intuitiva)
  • Medida que tende a contribuir mais: o diâmetro d.
    Por quê: no termo relativo, a contribuição do diâmetro é 2\,u(d)/d. Ou seja, um mesmo erro relativo em d afeta o volume com o dobro do efeito (porque d está ao quadrado na fórmula). Portanto, diminuir u(d) é prioritário.
  • Segunda medida importante: a profundidade h.
    Por quê: a incerteza relativa de h entra sem o fator 2. Se u(h)/h for grande (por exemplo se o furo for curto e a resolução do instrumento for relativamente grosseira), então h pode dominar a incerteza; mas normalmente, para instrumentos de profundidade de boa resolução, u(h)/h costuma ser menor que 2u(d)/d.
  • Outras fontes que aumentam incerteza do volume indiretamente:
    • Taper (variação do diâmetro com a profundidade): obriga a medir vários diâmetros e integrar — gera maior incerteza média.
    • Fundo não plano (arredondado/chanfro): o modelo V=\pi d^{2}h/4 deixa de ser exato — escolha do modelo gera incerteza sistemática.
    • Rugosidade e forma irregular do furo: aumentam a incerteza efetiva do d e do h.
    • Erros sistemáticos (alinhamento, zero do instrumento, temperatura): podem deslocar todas as medidas e, se não corrigidos, introduzem erro no volume.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (mostra por que d domina)
  • Suponha: d=10\\ \text{mm} com u(d)=0{,}02\\ \text{mm} e h=20\\ \text{mm} com u(h)=0{,}05\\ \text{mm}. Em TeX:
\dfrac{u(d)}{d}=\dfrac{0{,}02}{10}=0{,}002, \qquad \dfrac{u(h)}{h}=\dfrac{0{,}05}{20}=0{,}0025.
  • Usa-se a fórmula relativa:
\dfrac{u(V)}{V}=\sqrt{(2\cdot 0{,}002)^{2}+(0{,}0025)^{2}} =\sqrt{(0{,}004)^{2}+(0{,}0025)^{2}} \approx 0{,}0047\\ (\text{ou }0{,}47\%).
  • Aqui a contribuição do diâmetro (primeiro termo) é dominante. Mesmo que u(h) fosse a mesma ordem, o fator 2 em d faz a diferença.

Passo 8

Recomendações práticas (como reduzir a incerteza do volume)
  • Priorizar precisão na medição do diâmetro: usar micrômetros internos apropriados, plug gauges, ou equipamento de medição mais preciso que o paquímetro; fazer medições em várias direções (min, max, média) para detectar ovalização.
  • Medir o diâmetro em diferentes profundidades se houver suspeita de taper; modelar o volume integrando as seções ou usar técnicas de medição que mapem a forma (ex.: sonda de perfil, CMM).
  • Para profundidade, usar micrômetro de profundidade ou medidor específico, garantir alinhamento e zeragem correta; fazer repetidas medições e média.
  • Controlar temperatura e eliminar erros sistemáticos (calibrar instrumentos, compensar temperatura).

Resposta

Diâmetro interno do furo d — porque V depende de d^{2}, logo um mesmo erro relativo em d aparece com fator 2 na incerteza relativa de V.
Profundidade do furo h — contribui também, principalmente se u(h)/h for grande (por exemplo em furos curtos ou medidos com instrumento de baixa resolução).
Medidas de forma/taper, fundo não plano e rugosidade — aumentam a incerteza porque invalidam o modelo simples V=\pi d^{2}h/4 e exigem medições adicionais com maior incerteza.

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