Para um gás monoatômico mostre que o calor molar a volume constante é
e que o calor específico molar a pressão constante é
. R é a constante universal dos gases.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um gás monoatômico e precisa mostrar que o calor molar a volume constante é $ C_v = 1,5,R $ e o calor molar a pressão constante é $ C_p = 2,5,R $. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de termodinâmica e da teoria cinética dos gases.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o calor molar a volume constante, $ C_v $. Esse valor representa a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um mol do gás sem mudar o volume. Para um gás monoatômico, a energia interna $ U $ está relacionada apenas à energia cinética das partículas.
Passo 3
A teoria cinética dos gases nos diz que a energia interna $ U $ de um gás monoatômico é dada por:
Aqui, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante universal dos gases, e $ T $ é a temperatura.
Passo 4
Para encontrar $ C_v $, derivamos a energia interna em relação à temperatura mantendo o volume constante:
Substituindo $ U $:
Então, $ C_v = 1,5,R $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o calor molar a pressão constante, $ C_p $. Sabemos que para gases ideais:
Isso acontece porque, a pressão constante, além de aumentar a temperatura, permite que o gás expanda, realizando trabalho.
Passo 6
Substituindo o valor de $ C_v $ que encontramos:
Resposta
Portanto, mostramos que para um gás monoatômico: