Para um gás monoatômico mostre que o calor molar a volume constante é Cv=1,5 R e que o calor específico molar a pressão constante é Cp=2,5 R. R é a constante universal dos gases.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gás monoatômico e precisa mostrar que o calor molar a volume constante é $ C_v = 1,5,R $ e o calor molar a pressão constante é $ C_p = 2,5,R $. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de termodinâmica e da teoria cinética dos gases.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o calor molar a volume constante, $ C_v $. Esse valor representa a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um mol do gás sem mudar o volume. Para um gás monoatômico, a energia interna $ U $ está relacionada apenas à energia cinética das partículas.

Passo 3

A teoria cinética dos gases nos diz que a energia interna $ U $ de um gás monoatômico é dada por:
U
Aqui, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante universal dos gases, e $ T $ é a temperatura.

Passo 4

Para encontrar $ C_v $, derivamos a energia interna em relação à temperatura mantendo o volume constante:
Cv
Substituindo $ U $:
Cv = ( partial Upartial T )V
Então, $ C_v = 1,5,R $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o calor molar a pressão constante, $ C_p $. Sabemos que para gases ideais:
Cp
Isso acontece porque, a pressão constante, além de aumentar a temperatura, permite que o gás expanda, realizando trabalho.

Passo 6

Substituindo o valor de $ C_v $ que encontramos:
Cv

Resposta

Portanto, mostramos que para um gás monoatômico:
Cv = 1,5,R
Cp = 2,5,R

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