Gás natural, que pode ser considerado metano puro, é transportado empregando-se um compressor. Os dutos de entrada e saída do compressor possuem diâmetro interno de 2 ft . O gás entra no compressor a 86 psia, com velocidade de 72 \mathrm{ft} / \mathrm{s} a temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}. Na saída do compressor, a pressão do gás deve ser 100 psia. Assinale a alternativa que representa a potência consumida no compressor, supondo que: (a) o gás possui comportamento ideal, (b) os perfis de velocidades na entrada e saída do compressor são uniformes, (c) a elevação entre a saída e a entrada do compressor é negligenciável, (d) o escoamento é reversível, (e) o fluido é compressível e (f) a compressão é adiabática. Faça uma reflexão se o efeito da variação da taxa de energia cinética é importante neste processo.
Dado: \gamma=C p / C v=1,3

Passo 1

Liste clara dos dados fornecidos e do que é pedido.
  • Diâmetro interno dos dutos na entrada e na saída: D=2\\ \mathrm{ft}.
  • Pressão de entrada: p_1=86\\ \mathrm{psia} (absoluta).
  • Velocidade na entrada: V_1=72\\ \mathrm{ft/s}.
  • Temperatura ambiente (entrada): T_1=25^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão de saída desejada: p_2=100\\ \mathrm{psia}.
  • Gás considerado: metano puro (gas ideal).
  • Relação de capacidades caloríficas: \gamma = C_p/C_v = 1,3.
  • Hipóteses dadas (usar conforme enunciado): comportamento ideal, perfis de velocidade uniformes, elevação desprezível, escoamento reversível, compressão adiabática (isentrópica), fluido compressível.
O que se pede:
  • Determinar a potência consumida pelo compressor (potência de entrada, \dot{W}), usando as hipóteses acima.
  • Refletir se o efeito da variação da taxa de energia cinética é importante neste processo.

Passo 2

Passo inicial de conversões de unidades para trabalhar num sistema consistente (SI) e definir constantes usadas.
  • Converter o diâmetro e a velocidade para SI: D = 2\\ \mathrm{ft} = 0,6096\\ \mathrm{m}, \qquad V_1 = 72\\ \mathrm{ft/s} = 21,9456\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter pressões para pascal (1 psi =6894{,}757\\ \mathrm{Pa}): p_1 = 86\\ \mathrm{psia} = 86\cdot6894{,}757 = 592\,949{,}1\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_2 = 100\\ \mathrm{psia} = 100\cdot6894{,}757 = 689\,475{,}7\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter temperatura: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante universal dos gases: R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Massa molar do metano: M = 16{,}04\\ \mathrm{g/mol} = 0,01604\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Constante de gás específico do metano: R = \frac{R_u}{M} = \frac{8{,}314462618}{0,01604}\approx 518{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Explicação curta: R é a constante dos gases por unidade de massa; aparece na equação dos gases ideais \,p=\rho R T\,.)

Passo 3

Área da seção e vazão mássica na entrada (calcular densidade pela equação dos gases ideais).
  • Área do tubo: A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0,6096)^2}{4}\approx 0,2919\\ \mathrm{m^2}.
  • Densidade na entrada (equação dos gases ideais \,p=\rho R T \Rightarrow \rho = p/(R T); explicando: \rho é massa por volume, p pressão absoluta, T temperatura absoluta, R constante específica): \rho_1 = \frac{p_1}{R T_1} = \frac{592\,949{,}1}{518{,}5\cdot 298{,}15}\approx 3{,}84\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Vazão volumétrica e vazão mássica: \dot{Q} = A V_1 = 0,2919\cdot 21{,}9456 \approx 6{,}403\\ \mathrm{m^3/s},
\dot{m} = \rho_1 \dot{Q} \approx 3{,}84\cdot 6{,}403 \approx 24{,}6\\ \mathrm{kg/s}.
(Interpretação prática: \dot{m} é a massa de gás que passa por segundo. Esse valor será usado para calcular a potência necessária.)

Passo 4

Determinar a temperatura de saída assumindo compressão isentrópica (adiabática reversível) para gás ideal.
  • Para um processo isentrópico de gás ideal vale a relação entre temperaturas e pressões: \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.(Explicação: para processo reversível adiabático de gás ideal, a entropia permanece constante e a relação acima resulta de p v^\gamma= const e da equação de estado.)
  • Calcular a razão de pressão e o expoente: \frac{p_2}{p_1}=\frac{689\,475{,}7}{592\,949{,}1}\approx 1{,}1623, \qquad \frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}3-1}{1{,}3}=\frac{0{,}3}{1{,}3}\approx 0{,}23077.
  • Então: T_2 = T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \approx 298{,}15\cdot (1{,}1623)^{0{,}23077}\approx 308{,}6\\ \mathrm{K}.
  • A variação de temperatura: \Delta T = T_2 - T_1 \approx 10{,}45\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a variação de entalpia por unidade de massa e a potência associada (termo principal da potência do compressor).
  • Relação entre C_p, \gamma e R (explicação): para gás ideal C_p - C_v = R e \gamma = C_p/C_v. Resolvendos: C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  • Calcular C_p: C_p = \frac{1{,}3\cdot 518{,}5}{0{,}3} \approx 2\,246{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Para gás ideal, variação de entalpia é \Delta h = C_p \Delta T. Então: \Delta h = C_p (T_2 - T_1) \approx 2\,246{,}8\cdot 10{,}45 \approx 23\,480\\ \mathrm{J/kg}.(Explicação: entalpia por unidade de massa mede a energia térmica interna “pronta” para fluxos de massa; em escoamento estacionário, mudança de entalpia multiplicada por \dot{m} aparece na potência.)
  • Potência associada ao termo entálpico: \dot{W}_{h} = \dot{m}\,\Delta h \approx 24{,}6\cdot 23\,480 \approx 577\,!000\\ \mathrm{W}.(Vamos manter precisão e depois ajustar com o termo cinético. Observação: número arredondado aqui será refinado quando somarmos outros termos.)

Passo 6

Calcular a variação da energia cinética por unidade de massa e o efeito sobre a potência.
  • Primeiro calcular densidade e velocidade na saída (continuidade de massa: \dot{m}=\rho_2 A V_2).
  • Densidade na saída pela equação dos gases ideais: \rho_2 = \frac{p_2}{R T_2} = \frac{689\,475{,}7}{518{,}5\cdot 308{,}6}\approx 4{,}31\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Velocidade na saída: V_2 = \frac{\dot{m}}{\rho_2 A} \approx \frac{24{,}6}{4{,}31\cdot 0,2919}\approx 19{,}55\\ \mathrm{m/s}.
  • Variação de energia cinética por unidade de massa: \Delta e_{ke} = \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} = \frac{(19{,}55)^2 - (21{,}9456)^2}{2} \approx \frac{382{,}2 - 481{,}6}{2} \approx -49{,}7\\ \mathrm{J/kg}.(Interpretação: valor negativo indica que o gás sai com velocidade menor, então parte da energia cinética é recuperada e reduz a potência requerida.)
  • Potência associada à variação de energia cinética: \dot{W}_{ke} = \dot{m}\,\Delta e_{ke} \approx 24{,}6\cdot (-49{,}7) \approx -1\,220\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Somar os termos relevantes da equação de energia do escoamento estacionário e concluir a potência total.
  • Equação de energia (termos usados): para escoamento estacionário e adiabático, tomando trabalho de compressor por unidade de tempo positivo quando fornecido ao fluido, \dot{W} = \dot{m}\,(h_2-h_1) + \dot{m}\,\Delta e_{ke} + \dot{m}\,g\Delta z.Aqui \Delta z desprezível conforme enunciado, logo o termo potencial é nulo.
  • Substituindo os valores: \dot{W} \approx \dot{W}_{h} + \dot{W}_{ke} \approx 577\,000\\ \mathrm{W} - 1\,220\\ \mathrm{W} \approx 575\,780\\ \mathrm{W}.
  • Arredondando para 3 algarismos significativos: \dot{W}\approx 5,76\times 10^{5}\\ \mathrm{W}\approx 576\\ \mathrm{kW}.(Pode também expressar em cavalos-vapor: 1\\ \mathrm{hp}\approx 746\\ \mathrm{W} \Rightarrow \dot{W}\approx 772\\ \mathrm{hp}.)

Passo 8

Reflexão sobre se o efeito da variação da taxa de energia cinética é importante.
  • A correção devida à variação de energia cinética foi de aproximadamente -1{,}22\\ \mathrm{kW} sobre uma potência principal de \approx 576\\ \mathrm{kW}. Em percentagem: \frac{1{,}22}{576}\times 100\%\approx 0{,}21\%.
  • Conclusão prática: a variação da energia cinética tem efeito desprezível (ordem de décimos de porcento) na potência requerida neste processo. Em provas e estimativas rápidas, pode ser normalmente desprezada; em cálculo de engenharia de detalhe, inclui-se para maior precisão.

Resposta

\dot{W}\approx 5,76\times 10^{5}\\ \mathrm{W}\approx 576\\ \mathrm{kW}
Variação da energia cinética: negligível (reduz a potência em aproximadamente 1{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{W}, cerca de 0{,}21\%).

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