Uma parede plana, com espessura de 0,08 \mathrm{~m} e condutividade térmica de \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} apresenta uma taxa volumétrica de geração de calor uniforme de 0,4 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3} . \mathrm{Um} dos lados da parede é isolado, enquanto o outro lado está exposto a um fluido a 85^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é de h=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Determine a temperatura máxima da parede.
Taxa volumétrica de geração de calor uniforme: \dot{q}'''=0{,}4\\ \mathrm{MW/m^3}=4{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^3}.
Um lado da parede é isolado (adiabático).
O outro lado está exposto a um fluido a T_{\infty}=85^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede: determinar a temperatura máxima da parede.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial a usar.
Assumimos regime estacionário e condução unidimensional através da espessura, com geração volumétrica uniforme.
A equação de energia em 1D para temperatura T(x) é
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\frac{\dot{q}'''}{k}=0,
onde x mede a distância desde a face isolada (x=0) até a face exposta (x=L).
Explicação rápida: a segunda derivada representa variação espacial do fluxo de calor; o termo \dot{q}'''/k aparece porque a geração volumétrica adiciona calor por unidade de volume, e ao dividir por k entra na equação de equilíbrio.
Aplicar a condição na face isolada (x=0) e identificar onde está a temperatura máxima.
Face isolada implica fluxo nulo: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Usando \dfrac{dT}{dx} = -\dfrac{\dot{q}'''}{k}x + C_{1} em x=0 dá 0 = C_{1}. Logo C_{1}=0.
Assim a solução simplificada é
T(x) = -\frac{\dot{q}'''}{2k}x^{2} + C_{2}.
Esta é uma parábola concava para baixo (coeficiente negativo de x^{2}), logo a temperatura máxima ocorre em x=0 (a face isolada). Portanto T_{\max}=T(0)=C_{2}.
Passo 5
Aplicar condição convectiva na face exposta (x=L) para encontrar C_{2}.
Condição de convecção: -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Calcule \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L} = -\dfrac{\dot{q}'''}{k}L. Então o fluxo por condução na superfície é
Interpretação rápida: o termo \dot{q}'''L/h é a subida de temperatura associada à resistência convectiva na superfície; o termo \dot{q}'''L^{2}/(2k) é a subida interna devida à geração e condução dentro da parede (perfil parabólico).