Uma parede plana, com espessura de 0,08 \mathrm{~m} e condutividade térmica de \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} apresenta uma taxa volumétrica de geração de calor uniforme de 0,4 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3} . \mathrm{Um} dos lados da parede é isolado, enquanto o outro lado está exposto a um fluido a 85^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é de h=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Determine a temperatura máxima da parede.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Espessura da parede: L=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Taxa volumétrica de geração de calor uniforme: \dot{q}'''=0{,}4\\ \mathrm{MW/m^3}=4{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^3}.
  • Um lado da parede é isolado (adiabático).
  • O outro lado está exposto a um fluido a T_{\infty}=85^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=400\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede: determinar a temperatura máxima da parede.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial a usar.
  • Assumimos regime estacionário e condução unidimensional através da espessura, com geração volumétrica uniforme.
  • A equação de energia em 1D para temperatura T(x) é
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\frac{\dot{q}'''}{k}=0,
onde x mede a distância desde a face isolada ( x=0) até a face exposta ( x=L).
  • Explicação rápida: a segunda derivada representa variação espacial do fluxo de calor; o termo \dot{q}'''/k aparece porque a geração volumétrica adiciona calor por unidade de volume, e ao dividir por k entra na equação de equilíbrio.

Passo 3

Integração da equação diferencial.
Integrando uma vez:
\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot{q}'''}{k}x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
Integrando novamente:
T(x) = -\frac{\dot{q}'''}{2k}x^{2} + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Passo 4

Aplicar a condição na face isolada ( x=0) e identificar onde está a temperatura máxima.
  • Face isolada implica fluxo nulo: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
  • Usando \dfrac{dT}{dx} = -\dfrac{\dot{q}'''}{k}x + C_{1} em x=0 0 = C_{1}. Logo C_{1}=0.
  • Assim a solução simplificada é
T(x) = -\frac{\dot{q}'''}{2k}x^{2} + C_{2}.
  • Esta é uma parábola concava para baixo (coeficiente negativo de x^{2}), logo a temperatura máxima ocorre em x=0 (a face isolada). Portanto T_{\max}=T(0)=C_{2}.

Passo 5

Aplicar condição convectiva na face exposta ( x=L) para encontrar C_{2}.
  • Condição de convecção: -k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
  • Calcule \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=L} = -\dfrac{\dot{q}'''}{k}L. Então o fluxo por condução na superfície é
-q_x|_{x=L} = -k\left(-\frac{\dot{q}'''}{k}L\right) = \dot{q}'''L.
  • Igualando ao fluxo convectivo:
\dot{q}'''L = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
  • Assim
T(L) = T_{\infty} + \frac{\dot{q}'''L}{h}.
  • Mas também pela expressão de T(x):
T(L) = -\frac{\dot{q}'''}{2k}L^{2} + C_{2}.
  • Igualando as duas expressões para T(L) e resolvendo para C_{2} (que é T_{\max}):
C_{2} = T_{\infty} + \frac{\dot{q}'''L}{h} + \frac{\dot{q}'''}{2k}L^{2}.

Passo 6

Obter fórmula final para a temperatura máxima e interpretar os termos.
  • Portanto a temperatura máxima é
T_{\max} = T_{\infty} + \dot{q}'''\!\left(\frac{L}{h}+\frac{L^{2}}{2k}\right).
  • Interpretação rápida: o termo \dot{q}'''L/h é a subida de temperatura associada à resistência convectiva na superfície; o termo \dot{q}'''L^{2}/(2k) é a subida interna devida à geração e condução dentro da parede (perfil parabólico).

Passo 7

Calcular numericamente com os dados fornecidos.
  • Primeiro calcule os termos:
\frac{L}{h}=\frac{0{,}08}{400}=0{,}0002\\ \mathrm{(m^2\!/\!W)\\ equiv.}
\frac{L^{2}}{2k}=\frac{(0{,}08)^{2}}{2\cdot15}=\frac{0{,}0064}{30}=0{,}000213333\ldots
\frac{L}{h}+\frac{L^{2}}{2k}=0{,}0002+0{,}000213333\ldots=0{,}000413333\ldots
  • Multiplicando por \dot{q}'''=4{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}:
\dot{q}'''\!\left(\frac{L}{h}+\frac{L^{2}}{2k}\right) =4{,}0\times10^{5}\times0{,}000413333\ldots =165{,}333\ldots\\ \mathrm{K}.
  • Somando com T_{\infty}=85^\circ\mathrm{C}:
T_{\max}=85+165{,}333\ldots \approx 250{,}33^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{\max}\approx 250{,}3^\circ\mathrm{C}

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