Considere uma parede plana composta de um forno industrial constituída por um camada de cerâmica com espessura \mathrm{L}_{\mathrm{c}}=0,15 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{c}}=1,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e uma camada de aço com espessura \mathrm{L}_{\mathrm{a}}=0,003 \mathrm{~m} e condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{a}}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. Considerando que o ar no interior do forno é mantido à temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=500^{\circ} \mathrm{C}, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção \mathrm{h}_{\mathrm{i}}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}_{2} . \mathrm{K}, enquanto o ar externo (ambiente) mantém-se à temperatura constante \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=30^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de transferência de calor por convecção \mathrm{h}_{\mathrm{e}}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, determine o fluxo térmico que passa
pelo forno para o ar ambiente e calcule as temperaturas nas superfícies interna, externa e na junção cerâmica-aço.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei todos os valores do enunciado):
  • Espessura da camada de cerâmica: \,L_{\mathrm{c}}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da cerâmica: \,k_{\mathrm{c}}=1{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessura da camada de aço: \,L_{\mathrm{a}}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do aço: \,k_{\mathrm{a}}=40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura do ar interno (forno): \,T_{\mathrm{i}}=500^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção interior: \,h_{\mathrm{i}}=80\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Temperatura do ar externo (ambiente): \,T_{\mathrm{e}}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção exterior: \,h_{\mathrm{e}}=10\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
O enunciado pede:
  1. Determinar o fluxo térmico que passa pelo forno para o ar ambiente (isto é, o fluxo por unidade de área, q'', em \mathrm{W/m^{2}}).
  2. Calcular as temperaturas:
    • temperatura da superfície interna (face interna da cerâmica), que chamo de \,T_{\mathrm{s,i}};
    • temperatura da junção cerâmica–aço (interface entre as duas camadas), que chamo de \,T_{\mathrm{j}};
    • temperatura da superfície externa (face externa do aço), que chamo de \,T_{\mathrm{s,e}}.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicação didática, passo a passo).
  • Em regime estacionário e uma parede plana composta por camadas em série, o transporte de calor unidimensional pode ser representado por resistências térmicas em série: as resistências por convecção nas superfícies e as resistências por condução nas camadas sólidas.
  • A analogia elétrica: diferença de temperatura \Delta T é análoga à tensão, o fluxo térmico por unidade de área q'' é análogo à corrente, e resistência térmica por unidade de área R é análoga à resistência elétrica.
  • Fórmulas básicas (sempre por unidade de área, ou seja, considerando área A=1\\ \mathrm{m^2}):
    • Resistência por convecção na superfície com coeficiente \,h é R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}.Aqui R_{\text{conv}} tem unidades \mathrm{m^{2}\cdot K/W}. Significado: quanto menor h, maior a resistência e maior a queda de temperatura entre o fluido e a superfície.
    • Resistência por condução numa camada de espessura L e condutividade k (por unidade de área) é R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}.Significado: materiais mais condutores (maior k) têm menor resistência; quanto maior a espessura, maior a resistência.
  • A resistência térmica total em série é a soma das resistências individuais: R_{\text{tot}}=R_{\mathrm{conv, i}}+R_{\mathrm{cond,c}}+R_{\mathrm{cond,a}}+R_{\mathrm{conv, e}}.
  • O fluxo por unidade de área é dado por q''=\frac{T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}}}{R_{\text{tot}}}.
  • As quedas de temperatura em cada resistência são \Delta T = q''\cdot R. A partir delas obtemos as temperaturas das superfícies.

Passo 3

Calcular cada resistência numérica (por unidade de área). Vou explicar cada conta devagar para ficar transparente.
  • Resistência por convecção interna:
    R_{\mathrm{conv,i}}=\frac{1}{h_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{80} = 0{,}0125\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
    Aqui usei h_{\mathrm{i}}=80 (valor do enunciado).
  • Resistência por condução na cerâmica:
    R_{\mathrm{cond,c}}=\frac{L_{\mathrm{c}}}{k_{\mathrm{c}}}=\frac{0{,}15}{1{,}2}=0{,}125\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
    Interpretação: cerâmica tem baixa condutividade, por isso resistência relativamente grande.
  • Resistência por condução no aço:
    R_{\mathrm{cond,a}}=\frac{L_{\mathrm{a}}}{k_{\mathrm{a}}}=\frac{0{,}003}{40}=0{,}000075\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
    Nota: o aço é muito fino e muito condutor, então sua resistência é muito pequena.
  • Resistência por convecção externa:
    R_{\mathrm{conv,e}}=\frac{1}{h_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
    Interpretação: convecção externa mais fraca (menor h) gera resistência maior.

Passo 4

Somar as resistências para obter R_{\text{tot}} e calcular o fluxo q''.
  • Soma:
    R_{\text{tot}}=0{,}0125 + 0{,}125 + 0{,}000075 + 0{,}1 = 0{,}237575\\ \mathrm{m^{2}\cdot K/W}.
  • Diferença de temperatura entre interior e exterior:
    \Delta T = T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}}=500-30=470\\ \mathrm{K}.
  • Fluxo térmico por unidade de área:
    q''=\frac{T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}}}{R_{\text{tot}}}=\frac{470}{0{,}237575}\approx 1\,978{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    Interpretação: aproximadamente \,1{,}98\times10^{3}\\ \mathrm{W} passam por cada metro quadrado da parede em regime estacionário.

Passo 5

Calcular as temperaturas nas superfícies e na junção a partir das quedas de temperatura em cada resistência.
  • Queda de temperatura na convecção interna:
    \Delta T_{\mathrm{conv,i}}=q''\cdot R_{\mathrm{conv,i}}\approx 1\,978{,}4\cdot0{,}0125\approx 24{,}73\\ \mathrm{K}.
    Logo a temperatura da superfície interna (face da cerâmica voltada para o interior) é
    T_{\mathrm{s,i}}=T_{\mathrm{i}}-\Delta T_{\mathrm{conv,i}}\approx 500-24{,}73=475{,}27^\circ\mathrm{C}.
  • Queda de temperatura através da cerâmica:
    \Delta T_{\mathrm{cond,c}}=q''\cdot R_{\mathrm{cond,c}}\approx 1\,978{,}4\cdot0{,}125\approx 247{,}30\\ \mathrm{K}.
    Portanto a temperatura na junção cerâmica–aço é
    T_{\mathrm{j}}=T_{\mathrm{s,i}}-\Delta T_{\mathrm{cond,c}}\approx 475{,}27-247{,}30=227{,}97^\circ\mathrm{C}.
  • Queda de temperatura através do aço:
    \Delta T_{\mathrm{cond,a}}=q''\cdot R_{\mathrm{cond,a}}\approx 1\,978{,}4\cdot0{,}000075\approx 0{,}15\\ \mathrm{K}.
    A temperatura da superfície externa (face do aço voltada para o ambiente) é
    T_{\mathrm{s,e}}=T_{\mathrm{j}}-\Delta T_{\mathrm{cond,a}}\approx 227{,}97-0{,}15=227{,}82^\circ\mathrm{C}.
    (Cheque alternativo: pela convecção externa, T_{\mathrm{s,e}}=T_{\mathrm{e}}+q''R_{\mathrm{conv,e}}=30+1\,978{,}4\cdot0{,}1\approx30+197{,}84=227{,}84^\circ\mathrm{C}. A pequena diferença vem de arredondamentos; valores são coerentes.)
  • Verificação rápida: somando as quedas:
    24{,}73 + 247{,}30 + 0{,}15 + 197{,}84 \approx 470{,}02\\ \mathrm{K},
    que conferem com \Delta T=470\\ \mathrm{K} até pequenas discrepâncias por arredondamento. Está consistente.

Passo 6

Interpretação física e incentivo rápido.
  • Resultado principal: a resistência dominante é a da cerâmica ( R_{\mathrm{cond,c}}=0{,}125), por isso a maior parte da queda de temperatura acontece atravessando a cerâmica; o aço é quase “isotérmico” por ser fino e muito condutor.
  • Isso significa que por fora a parede fica bem quente ( \sim 228^\circ\mathrm{C}), apesar do ar ambiente estar a 30^\circ\mathrm{C}. Em projeto isso indicaria necessidade de isolamento mais eficiente (por exemplo maior espessura de cerâmica ou material com menor condutividade) se se quiser diminuir o calor perdido e reduzir a temperatura externa.
  • Força no estudo! O procedimento é sempre o mesmo: montar resistências em série, somar, calcular q'' e distribuir quedas de temperatura. Dá pra aplicar isso a qualquer parede multicamada.

Resposta

q''\approx 1\,978{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}}
T_{\mathrm{s,i}}\approx 475{,}27^\circ\mathrm{C}
T_{\mathrm{j}}\approx 227{,}97^\circ\mathrm{C}
T_{\mathrm{s,e}}\approx 227{,}82^\circ\mathrm{C}

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