Cn 7 O gás residual em uma câmara evacuada de um acelerador de partículas possui uma temperatura de 295 K e uma pressão de
Pa. Calcule: (a) o número de moléculas do gás residual por metro cúbico;
(b) o livre caminho médio. Suponha que o diâmetro das moléculas seja igual a
.
Pa. Calcule: (a) o número de moléculas do gás residual por metro cúbico;
(b) o livre caminho médio. Suponha que o diâmetro das moléculas seja igual a
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Temperatura do gás:
. - Pressão do gás:
. - Diâmetro das moléculas:
.
Perguntas:
(a) Calcular o número de moléculas do gás residual por metro cúbico (densidade numérica , em
).
(b) Calcular o livre caminho médio (em metros), supondo moléculas esféricas de diâmetro
.
(a) Calcular o número de moléculas do gás residual por metro cúbico (densidade numérica
(b) Calcular o livre caminho médio
Passo 2
Para (a) usamos a lei dos gases ideais na forma que relaciona pressão e densidade numérica:
onde:
-
é a pressão (em ), -
é o número de moléculas por metro cúbico (o que queremos), -
é a constante de Boltzmann, , -
é a temperatura (em ).
Isolando
obtemos:
Aqui explico por que isso funciona: a equação diz que a pressão é causada pelas colisões de muitas moléculas;
representa a energia térmica média por partícula, então dividir a pressão por essa energia por volume dá a quantidade de partículas por volume.
Passo 3
Calculo de
:
Faço a multiplicação:
portanto
Agora calculo
:
Dividindo:
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
Passo 4
Para (b) usamos a fórmula do livre caminho médio para esferas duras em um gás diluído:
onde:
-
é o livre caminho médio (m), -
é o diâmetro das moléculas (m), -
é a densidade numérica que já calculamos ( ), - o fator
vem da seção de choque efetiva para colisões entre esferas idênticas (explicação física curta: é a área de “alvo” e o corrige para o fato de ambas as partículas estarem em movimento relativo).
Passo 5
Converto o diâmetro dado para metros e calculo
:
Passo 6
Agora calculo o denominador da fórmula de
:
Faço por partes:
Portanto
Então
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Breve verificação física e motivação: o valor de
é muito grande (centenas de metros), o que faz sentido porque a pressão é extremamente baixa (
) — há pouquíssimas moléculas por volume, então uma molécula viaja, em média, centenas de metros sem colidir. Isso é típico em câmaras de alto ou ultra–alto vácuo usadas em aceleradores.
Resposta
(a)
(b)
(b)