Cn 7 O gás residual em uma câmara evacuada de um acelerador de partículas possui uma temperatura de 295 K e uma pressão de 1,33 \times 10^{-4}
Pa. Calcule: (a) o número de moléculas do gás residual por metro cúbico;
(b) o livre caminho médio. Suponha que o diâmetro das moléculas seja igual a 2,00 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Temperatura do gás: T=295\\ \mathrm{K}.
  • Pressão do gás: p=1{,}33\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Diâmetro das moléculas: d=2{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Perguntas:
(a) Calcular o número de moléculas do gás residual por metro cúbico (densidade numérica n, em \mathrm{m^{-3}}).
(b) Calcular o livre caminho médio \lambda (em metros), supondo moléculas esféricas de diâmetro d.

Passo 2

Para (a) usamos a lei dos gases ideais na forma que relaciona pressão e densidade numérica:
p = n k_B T,
onde:
  • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
  • n é o número de moléculas por metro cúbico (o que queremos),
  • k_B é a constante de Boltzmann, k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}).
Isolando n obtemos:
n=\frac{p}{k_B T}.
Aqui explico por que isso funciona: a equação diz que a pressão é causada pelas colisões de muitas moléculas; k_B T representa a energia térmica média por partícula, então dividir a pressão por essa energia por volume dá a quantidade de partículas por volume.

Passo 3

Calculo de k_B T:
k_B T = (1{,}380649\times10^{-23})\times(295).
Faço a multiplicação:
1{,}380649\times295 = 407{,}291455,
portanto
k_B T = 4{,}07291455\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Agora calculo n:
n=\frac{1{,}33\times10^{-4}}{4{,}07291455\times10^{-21}}.
Dividindo:
n \approx 3{,}26511\times10^{16}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
n \approx 3{,}27\times10^{16}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Para (b) usamos a fórmula do livre caminho médio para esferas duras em um gás diluído:
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi\,d^{2}\,n},
onde:
  • \lambda é o livre caminho médio (m),
  • d é o diâmetro das moléculas (m),
  • n é a densidade numérica que já calculamos ( \mathrm{m^{-3}} ),
  • o fator \sqrt{2}\,\pi d^{2} vem da seção de choque efetiva para colisões entre esferas idênticas (explicação física curta: \pi d^2 é a área de “alvo” e o \sqrt{2} corrige para o fato de ambas as partículas estarem em movimento relativo).

Passo 5

Converto o diâmetro dado para metros e calculo d^2:
d = 2{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} = 2{,}00\times10^{-8}\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 2{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
d^{2} = (2{,}00\times10^{-10})^{2} = 4{,}00\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Agora calculo o denominador da fórmula de \lambda:
\sqrt{2}\,\pi\,d^{2}\,n = (\sqrt{2})(\pi)(4{,}00\times10^{-20})(3{,}26511\times10^{16}).
Faço por partes:
\sqrt{2}\,\pi \approx 1{,}41421356\times3{,}14159265 \approx 4{,}44288294.
4{,}44288294\times4{,}00\times10^{-20} = 1{,}777153176\times10^{-19}.
1{,}777153176\times10^{-19}\times3{,}26511\times10^{16} = 5{,}802580028\times10^{-3}.
Portanto
\sqrt{2}\,\pi\,d^{2}\,n \approx 5{,}80258\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Então
\lambda = \frac{1}{5{,}80258\times10^{-3}} \approx 172{,}35\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\lambda \approx 1{,}72\times10^{2}\\ \mathrm{m} \quad(\text{ou }172\\ \mathrm{m}).

Passo 7

Breve verificação física e motivação: o valor de \lambda é muito grande (centenas de metros), o que faz sentido porque a pressão é extremamente baixa ( 1{,}33\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa}) — há pouquíssimas moléculas por volume, então uma molécula viaja, em média, centenas de metros sem colidir. Isso é típico em câmaras de alto ou ultra–alto vácuo usadas em aceleradores.

Resposta

(a) n \approx 3{,}27\times10^{16}\\ \mathrm{m^{-3}}
(b) \lambda \approx 1{,}72\times10^{2}\\ \mathrm{m}

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