Cn 3 Suponha que 0,82 \mathrm{~mol} de um gás ideal sofra uma expansão isotérmica de um volume inicial igual a 0,33 \mathrm{~m}^{3} até um volume final igual a 0,49 \mathrm{~m}^{3}. Sabendo que a quantidade de calor transferida durante o processo é igual a 980 J , calcule a temperatura do gás.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Quantidade de matéria: n=0{,}82\\ \mathrm{mol}.
  • Volume inicial: V_i=0{,}33\\ \mathrm{m}^3.
  • Volume final: V_f=0{,}49\\ \mathrm{m}^3.
  • Calor transferido no processo: Q=980\\ \mathrm{J}.
O que o problema pede:
  • Calcular a temperatura do gás durante essa expansão isotérmica.

Passo 2

Conceito essencial (explicando devagar e sem pular etapas):
  • “Isotérmico” significa que a temperatura permanece constante durante todo o processo. Então a variação de energia interna do gás é nula.
  • Para um gás ideal, a energia interna U depende apenas da temperatura. Portanto, numa transformação isotérmica:
\Delta U = 0.
  • Pela primeira lei da termodinâmica:
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema. Com \Delta U=0 obtemos:
Q = W.
Isto significa que todo o calor fornecido ao gás foi usado para realizar trabalho na expansão.

Passo 3

Fórmula do trabalho em uma expansão isotérmica reversível de gás ideal (aqui ensino como chegar nela):
  • O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de V_i até V_f é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V.
  • Usando a equação dos gases ideais P=\dfrac{nRT}{V} (onde R é a constante universal dos gases e T é a temperatura constante), substituímos na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.
  • Como n, R e T são constantes durante a transformação isotérmica, saem da integral:
W=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V=nRT\left[\ln V\right]_{V_i}^{V_f}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Lembrando: R tem valor R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Aqui cada símbolo significa:
    • W: trabalho (em joules),
    • n: número de mols (mol),
    • R: constante dos gases (J·mol⁻¹·K⁻¹),
    • T: temperatura absoluta (K),
    • V_i,V_f: volumes inicial e final (m³).

Passo 4

Relacionando com o calor fornecido:
  • Pelo Passo 2 temos Q=W. Assim:
Q = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Isolando a temperatura T:
T=\frac{Q}{nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos passo a passo (mostrando as contas para você poder repetir na prova):
  • Primeiro calcule a razão dos volumes:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{0{,}49}{0{,}33}=\frac{49}{33}\approx1{,}484848\ldots
  • Agora o logaritmo natural dessa razão (uso propriedade \ln(49)-\ln(33) para maior precisão):
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln\!\left(\frac{49}{33}\right)\approx0{,}3953127367.
  • Calcule nR:
nR=0{,}82\times 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\approx 6{,}8178593468\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Produto nR\ln(V_f/V_i):
nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\approx 6{,}8178593468\times 0{,}3953127367\approx 2{,}695186632\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Finalmente calcule T:
T=\frac{Q}{nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)}=\frac{980\\ \mathrm{J}}{2{,}695186632\\ \mathrm{J\,K^{-1}}}\approx 363{,}61\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (para te deixar confiante):
  • Unidade: como \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{J\,K^{-1}}}=\mathrm{K}, o resultado está em kelvin, consistente.
  • Senso físico: temperatura positiva e da ordem de centenas de kelvins faz sentido para um gás ideal nas condições dadas.

Resposta

T\approx 363{,}6\\ \mathrm{K}

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