Cn 3 Suponha que
de um gás ideal sofra uma expansão isotérmica de um volume inicial igual a
até um volume final igual a
. Sabendo que a quantidade de calor transferida durante o processo é igual a 980 J , calcule a temperatura do gás.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados:
- Quantidade de matéria:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - Calor transferido no processo:
.
O que o problema pede:
- Calcular a temperatura do gás durante essa expansão isotérmica.
Passo 2
Conceito essencial (explicando devagar e sem pular etapas):
- “Isotérmico” significa que a temperatura permanece constante durante todo o processo. Então a variação de energia interna do gás é nula.
- Para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura. Portanto, numa transformação isotérmica:
- Pela primeira lei da termodinâmica:
onde
é o calor recebido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema. Com
obtemos:
Isto significa que todo o calor fornecido ao gás foi usado para realizar trabalho na expansão.
Passo 3
Fórmula do trabalho em uma expansão isotérmica reversível de gás ideal (aqui ensino como chegar nela):
- O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de
até é dado por
- Usando a equação dos gases ideais
(onde é a constante universal dos gases e é a temperatura constante), substituímos na integral:
- Como
, e são constantes durante a transformação isotérmica, saem da integral:
- Lembrando:
tem valor . Aqui cada símbolo significa: -
: trabalho (em joules), -
: número de mols (mol), -
: constante dos gases (J·mol⁻¹·K⁻¹), -
: temperatura absoluta (K), -
: volumes inicial e final (m³).
-
Passo 4
Relacionando com o calor fornecido:
- Pelo Passo 2 temos
. Assim:
- Isolando a temperatura
:
Passo 5
Substituindo os valores numéricos passo a passo (mostrando as contas para você poder repetir na prova):
- Primeiro calcule a razão dos volumes:
- Agora o logaritmo natural dessa razão (uso propriedade
para maior precisão):
- Calcule
:
- Produto
:
- Finalmente calcule
:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida (para te deixar confiante):
- Unidade: como
, o resultado está em kelvin, consistente. - Senso físico: temperatura positiva e da ordem de centenas de kelvins faz sentido para um gás ideal nas condições dadas.