Cn 5 (a) Calcule a velocidade média quadrática das moléculas de nitrogênio de um gás a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. A massa molar do nitrogênio é 28,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.
(b) Calcule a temperatura para a qual a velocidade média quadrática é:
(b) metade desse valor; (c) o dobro desse valor.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular a velocidade média quadrática (velocidade RMS) das moléculas de nitrogênio a 20,0^\circ\mathrm{C}.
  • (b) Calcular a temperatura para a qual a velocidade RMS é metade do valor do item (a).
  • (c) Calcular a temperatura para a qual a velocidade RMS é o dobro do valor do item (a).
Informações e dados fornecidos:
  • Temperatura inicial: 20,0^\circ\mathrm{C}.
  • Massa molar do nitrogênio: 28,0\\ \mathrm{g/mol}.
Valores físicos que usarei (com unidades):
  • Constante dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 2

Que fórmula usar para a velocidade média quadrática? Vou apresentar a fórmula e explicar de onde ela vem, de forma didática.
Da teoria cinética dos gases, a energia cinética média por molécula está relacionada à temperatura. Para uma molécula de massa m vale
\frac{1}{2} m \, v_{\mathrm{rms}}^{2} = \frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T,
onde:
  • v_{\mathrm{rms}} é a velocidade média quadrática (root-mean-square speed);
  • m é a massa de uma molécula (em kg);
  • k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann ( 1,38065\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Isolando v_{\mathrm{rms}} obtemos
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}.
Como é mais prático trabalhar com massa molar M (kg por mol) e a constante dos gases R (J·mol{-1}·K{-1}), usamos R = N_{\!A} k_{\mathrm{B}} e m = M/N_{\!A}. Substituindo e simplificando chega-se à forma molar:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}}.
Aqui:
  • R é a constante dos gases (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T em \mathrm{K};
  • M é a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
Essa é a fórmula que vou usar para (a). Observação importante: a temperatura na fórmula deve estar em kelvin.

Passo 3

Converter os dados para as unidades corretas.
  • Temperatura inicial: 20,0^\circ\mathrm{C} corresponde a
T_1 = 20,0 + 273,15 = 293,15\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar: 28,0\\ \mathrm{g/mol} = 0,0280\\ \mathrm{kg/mol}.
Anotações dos valores que entrarem na conta:
R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\qquad T_1 = 293,15\\ \mathrm{K},\qquad M=0,0280\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 4

Calcular numericamente v_{\mathrm{rms}} usando \displaystyle v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.
Substituindo os números:
v_{\mathrm{rms},1} = \sqrt{\frac{3\cdot 8,314 \cdot 293,15}{0,0280}}.
Faço as contas em etapas para ficar claro:
3\cdot 8,314 = 24,942,
24,942 \cdot 293,15 \approx 7311,75\quad(\text{unidade: J/mol}),
\frac{7311,75}{0,0280} \approx 261134,0\quad(\text{unidade: } \mathrm{m^{2}/s^{2}}).
Agora a raiz quadrada:
v_{\mathrm{rms},1} \approx \sqrt{261134,0}\approx 510,99\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com precisão adequada (três algarismos significativos):
v_{\mathrm{rms},1} \approx 511\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Explicação rápida sobre escala de temperatura e velocidade RMS (isso ajuda para (b) e (c)).
Da fórmula \displaystyle v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} vê-se que v_{\mathrm{rms}} é proporcional a \sqrt{T}. Ou seja, se a velocidade RMS muda por um fator a,
v' = a\, v \quad\Longrightarrow\quad T' = a^{2} T.
Isso é prático: metade da velocidade ( a=\tfrac{1}{2}) implica temperatura T'=(\tfrac{1}{2})^{2}T=\tfrac{1}{4}T. Dobro da velocidade ( a=2) implica T'=4T.

Passo 6

Calcular a temperatura para a qual v_{\mathrm{rms}} é metade do valor do item (a).
Seja v_2 = \tfrac{1}{2}v_{\mathrm{rms},1}. Então
T_2 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} T_1 = \tfrac{1}{4} T_1.
Numericamente:
T_2 = \frac{293,15}{4} = 73,2875\\ \mathrm{K}.
Se for conveniente expressar em Celsius:
T_{2,\!^\circ\mathrm{C}} = 73,2875 - 273,15 = -199,8625^\circ\mathrm{C}\approx -199,86^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a temperatura para a qual v_{\mathrm{rms}} é o dobro do valor do item (a).
Seja v_3 = 2\, v_{\mathrm{rms},1}. Então
T_3 = 2^{2} T_1 = 4 T_1.
Numericamente:
T_3 = 4\cdot 293,15 = 1172,6\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_{3,\!^\circ\mathrm{C}} = 1172,6 - 273,15 = 899,45^\circ\mathrm{C}\approx 899,45^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) v_{\mathrm{rms}} \approx 511\\ \mathrm{m/s}
(b) T = 73,29\\ \mathrm{K} \;=\; -199,86^\circ\mathrm{C}
(c) T = 1172,6\\ \mathrm{K} \;=\; 899,45^\circ\mathrm{C}

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