Cn 5 (a) Calcule a velocidade média quadrática das moléculas de nitrogênio de um gás a
. A massa molar do nitrogênio é
.
(b) Calcule a temperatura para a qual a velocidade média quadrática é:
(b) metade desse valor; (c) o dobro desse valor.
(b) Calcule a temperatura para a qual a velocidade média quadrática é:
(b) metade desse valor; (c) o dobro desse valor.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Calcular a velocidade média quadrática (velocidade RMS) das moléculas de nitrogênio a
. - (b) Calcular a temperatura para a qual a velocidade RMS é metade do valor do item (a).
- (c) Calcular a temperatura para a qual a velocidade RMS é o dobro do valor do item (a).
Informações e dados fornecidos:
- Temperatura inicial:
. - Massa molar do nitrogênio:
.
Valores físicos que usarei (com unidades):
- Constante dos gases:
.
Passo 2
Que fórmula usar para a velocidade média quadrática? Vou apresentar a fórmula e explicar de onde ela vem, de forma didática.
Da teoria cinética dos gases, a energia cinética média por molécula está relacionada à temperatura. Para uma molécula de massa
vale
onde:
-
é a velocidade média quadrática (root-mean-square speed); -
é a massa de uma molécula (em kg); -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é a temperatura absoluta em kelvin.
Isolando
obtemos
Como é mais prático trabalhar com massa molar
(kg por mol) e a constante dos gases
(J·mol{-1}·K{-1}), usamos
e
. Substituindo e simplificando chega-se à forma molar:
Aqui:
-
é a constante dos gases (em ); -
em ; -
é a massa molar em .
Essa é a fórmula que vou usar para (a). Observação importante: a temperatura na fórmula deve estar em kelvin.
Passo 3
Converter os dados para as unidades corretas.
- Temperatura inicial:
corresponde a
- Massa molar:
.
Anotações dos valores que entrarem na conta:
Passo 4
Calcular numericamente
usando
.
Substituindo os números:
Faço as contas em etapas para ficar claro:
Agora a raiz quadrada:
Arredondando com precisão adequada (três algarismos significativos):
Passo 5
Explicação rápida sobre escala de temperatura e velocidade RMS (isso ajuda para (b) e (c)).
Da fórmula
vê-se que
é proporcional a
. Ou seja, se a velocidade RMS muda por um fator
,
Isso é prático: metade da velocidade (
) implica temperatura
. Dobro da velocidade (
) implica
.
Passo 6
Calcular a temperatura para a qual
é metade do valor do item (a).
Seja
. Então
Numericamente:
Se for conveniente expressar em Celsius:
Passo 7
Calcular a temperatura para a qual
é o dobro do valor do item (a).
Seja
. Então
Numericamente:
Convertendo para Celsius:
Resposta
(a)
(b)
(c)