Os gases \mathrm{O}_{2} e \mathrm{N}_{2} estão contidos em recipientes distintos, ambos a uma temperatura T e pressão P. Considerando que os mesmos se comportam como gases ideais nessas condições, o que podemos afirmar? Justifíque:
(a) A energia cinética do gás \mathrm{O}_{2} é maior do que a do gás \mathrm{N}_{2}.
(b) A energia cinética do gás \mathrm{N}_{2} é maior do que a do gás \mathrm{O}_{2}.
(c) A velocidade média quadrática dos gases é igual.
(d) A velocidade média quadrática do gás \mathrm{N}_{2} é 5 \% maior do que a do \mathrm{O}_{2}.
(e) A energia cinética dos dois gases é igual.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Dois recipientes distintos, um contendo gás \mathrm{O}_2 e outro contendo gás \mathrm{N}_2.
  • Ambos os gases estão à mesma temperatura T e à mesma pressão P.
  • Os gases se comportam como gases ideais nessas condições.
    O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas (a)–(e), qual afirmação é verdadeira e justificar.

Passo 2

Vamos lembrar o resultado central da teoria cinética dos gases sobre energia cinética média das moléculas. A energia cinética média translacional de uma molécula de um gás ideal à temperatura T é dada por
\langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{2} k T,
onde:
  • \langle \varepsilon \rangle é a energia cinética média por molécula;
  • k é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
Importante: nessa fórmula a energia média depende só da temperatura T e NÃO da massa da molécula. Logo, se dois gases estão à mesma T, a energia cinética média por molécula é igual para ambos. Vou explicar de onde vem essa fórmula de forma bem direta: a equipartição de energia diz que cada grau de liberdade translatório contribui com \tfrac{1}{2}kT para a energia média; em três dimensões há três graus de liberdade translatórios, somando \tfrac{3}{2}kT.

Passo 3

Agora relacionamos energia cinética média com a velocidade quadrática média (velocidade rms). Para uma molécula de massa m vale
\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T,
onde:
  • m é a massa de uma molécula (em kg);
  • \overline{v^2} é o valor médio de v^2 (velocidade quadrática média);
  • o lado direito já é a energia cinética média \langle \varepsilon \rangle.
Desse modo
\overline{v^2} = \frac{3kT}{m}, \qquad v_{\text{rms}} \equiv \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Às vezes é mais conveniente usar a massa molar M e a constante dos gases R. Como m = \dfrac{M}{N_A} e k=\dfrac{R}{N_A}, obtemos a forma molar
v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde:
  • M é a massa molar (em kg·mol ^{-1});
  • R é a constante dos gases perfeitos.

Passo 4

Aplicando isto aos dois gases: \mathrm{O}_2 tem massa molar M_{\mathrm{O}_2}=32\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol} e \mathrm{N}_2 tem M_{\mathrm{N}_2}=28\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}. Como T é a mesma para ambos, as energias cinéticas médias por molécula (ou por mol) são iguais segundo \langle \varepsilon \rangle=\tfrac{3}{2}kT (ou energia por mol \tfrac{3}{2}RT).
Por outro lado, as velocidades rms diferem por causa das massas molares. A razão entre as velocidades rms é
\frac{v_{\text{rms},\mathrm{N}_2}}{v_{\text{rms},\mathrm{O}_2}} = \sqrt{\frac{M_{\mathrm{O}_2}}{M_{\mathrm{N}_2}}} = \sqrt{\frac{32}{28}} = \sqrt{\frac{8}{7}}.
Calculando numericamente,
\sqrt{\frac{8}{7}}\approx 1{,}0690\ldots
Isto significa que v_{\text{rms},\mathrm{N}_2} é cerca de 6{,}9\% maior que v_{\text{rms},\mathrm{O}_2}. Portanto a alternativa (d), que afirma exatamente 5\% maior, está incorreta.

Passo 5

Resumo das implicações para as alternativas:
  • (a) “A energia cinética do gás \mathrm{O}_2 é maior” — falso, porque a energia cinética média depende só de T e os dois gases têm a mesma T.
  • (b) “A energia cinética do gás \mathrm{N}_2 é maior” — falso pelo mesmo motivo.
  • (c) “A velocidade média quadrática dos gases é igual” — falso; calculámos que as velocidades rms são diferentes (proporção \sqrt{32/28}).
  • (d) “A velocidade média quadrática do gás \mathrm{N}_2 é 5\% maior” — falso; é aproximadamente 6{,}9\% maior, não 5\%.
  • (e) “A energia cinética dos dois gases é igual” — esta é a correta, interpretando-se como energia cinética média por molécula (ou por mol): com a mesma temperatura T ambos têm a mesma energia média translacional, dado por \langle \varepsilon \rangle=\tfrac{3}{2}kT (por molécula) ou E_{\text{mol}}=\tfrac{3}{2}RT (por mol).
Observação final útil: se a pergunta tivesse se referido à energia cinética total presente em cada recipiente, seria preciso saber a quantidade de matéria (número de mols) em cada recipiente — com apenas P e T dados, o número de mols depende do volume do recipiente; sem essa informação não dá para comparar energias totais. Mas normalmente, em exercícios assim, a intenção é comparar a energia média por partícula (ou por mol), caso em que a resposta (e) é a correta.

Resposta

(e) A energia cinética dos dois gases é igual.

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