Os gases \mathrm{O}_{2} e \mathrm{N}_{2} estão contidos em recipientes distintos, ambos a uma temperatura T e pressão P. Considerando que os mesmos se comportam como gases ideais nessas condições, o que podemos afirmar? Justifíque:
(a) A energia cinética do gás \mathrm{O}_{2} é maior do que a do gás \mathrm{N}_{2}.
(b) A energia cinética do gás \mathrm{N}_{2} é maior do que a do gás \mathrm{O}_{2}.
(c) A velocidade média quadrática dos gases é igual.
(d) A velocidade média quadrática do gás \mathrm{N}_{2} é 5 \% maior do que a do \mathrm{O}_{2}.
(e) A energia cinética dos dois gases é igual.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Dois recipientes distintos, um contendo gás \mathrm{O}_2 e outro contendo gás \mathrm{N}_2.
Ambos os gases estão à mesma temperatura T e à mesma pressão P.
Os gases se comportam como gases ideais nessas condições.
O que o enunciado pede: escolher, entre as alternativas (a)–(e), qual afirmação é verdadeira e justificar.
Passo 2
Vamos lembrar o resultado central da teoria cinética dos gases sobre energia cinética média das moléculas. A energia cinética média translacional de uma molécula de um gás ideal à temperatura T é dada por
\langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{2} k T,
onde:
\langle \varepsilon \rangle é a energia cinética média por molécula;
k é a constante de Boltzmann;
T é a temperatura absoluta (em kelvin).
Importante: nessa fórmula a energia média depende só da temperatura T e NÃO da massa da molécula. Logo, se dois gases estão à mesma T, a energia cinética média por molécula é igual para ambos. Vou explicar de onde vem essa fórmula de forma bem direta: a equipartição de energia diz que cada grau de liberdade translatório contribui com \tfrac{1}{2}kT para a energia média; em três dimensões há três graus de liberdade translatórios, somando \tfrac{3}{2}kT.
Passo 3
Agora relacionamos energia cinética média com a velocidade quadrática média (velocidade rms). Para uma molécula de massa m vale
\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T,
onde:
m é a massa de uma molécula (em kg);
\overline{v^2} é o valor médio de v^2 (velocidade quadrática média);
o lado direito já é a energia cinética média \langle \varepsilon \rangle.
Às vezes é mais conveniente usar a massa molar M e a constante dos gases R. Como m = \dfrac{M}{N_A} e k=\dfrac{R}{N_A}, obtemos a forma molar
v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde:
M é a massa molar (em kg·mol^{-1});
R é a constante dos gases perfeitos.
Passo 4
Aplicando isto aos dois gases: \mathrm{O}_2 tem massa molar M_{\mathrm{O}_2}=32\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol} e \mathrm{N}_2 tem M_{\mathrm{N}_2}=28\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}. Como T é a mesma para ambos, as energias cinéticas médias por molécula (ou por mol) são iguais segundo \langle \varepsilon \rangle=\tfrac{3}{2}kT (ou energia por mol \tfrac{3}{2}RT).
Por outro lado, as velocidades rms diferem por causa das massas molares. A razão entre as velocidades rms é
Isto significa que v_{\text{rms},\mathrm{N}_2} é cerca de 6{,}9\% maior que v_{\text{rms},\mathrm{O}_2}. Portanto a alternativa (d), que afirma exatamente 5\% maior, está incorreta.
Passo 5
Resumo das implicações para as alternativas:
(a) “A energia cinética do gás \mathrm{O}_2 é maior” — falso, porque a energia cinética média depende só de T e os dois gases têm a mesma T.
(b) “A energia cinética do gás \mathrm{N}_2 é maior” — falso pelo mesmo motivo.
(c) “A velocidade média quadrática dos gases é igual” — falso; calculámos que as velocidades rms são diferentes (proporção \sqrt{32/28}).
(d) “A velocidade média quadrática do gás \mathrm{N}_2 é 5\% maior” — falso; é aproximadamente 6{,}9\% maior, não 5\%.
(e) “A energia cinética dos dois gases é igual” — esta é a correta, interpretando-se como energia cinética média por molécula (ou por mol): com a mesma temperatura T ambos têm a mesma energia média translacional, dado por \langle \varepsilon \rangle=\tfrac{3}{2}kT (por molécula) ou E_{\text{mol}}=\tfrac{3}{2}RT (por mol).
Observação final útil: se a pergunta tivesse se referido à energia cinética total presente em cada recipiente, seria preciso saber a quantidade de matéria (número de mols) em cada recipiente — com apenas P e T dados, o número de mols depende do volume do recipiente; sem essa informação não dá para comparar energias totais. Mas normalmente, em exercícios assim, a intenção é comparar a energia média por partícula (ou por mol), caso em que a resposta (e) é a correta.