Geiger e Marsden usaram partículas
de
e descobriram que a contagem de espalhamento em todos os ângulos concordava com a fórmula de Rutherford. Use este fato para calcular um limite superior para o raio do núcleo de ouro.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
- Dado: partículas
com energia . - Dado: a contagem de espalhamento em todos os ângulos concorda com a fórmula de Rutherford (ou seja, o espalhamento observável é puramente eletrostático — sem contribuição detectável da força nuclear).
- Informação necessária que vou usar (não é solução, só dados): o número atômico do ouro é
e o tem . - Pergunta: usar esse fato para calcular um limite superior para o raio do núcleo de ouro (isto é, estimar um valor tal que o núcleo tenha raio menor ou igual a esse, caso contrário veríamos desvios da lei de Rutherford).
Passo 2
Ideia física e por que isso dá um limite para o raio:
- Se uma partícula
se aproximar de uma carga suficientemente, a menor distância que ela consegue atingir (no caso extremo de colisão central, “head-on”) é aquela em que toda a sua energia cinética inicial foi convertida em energia potencial elétrica. Se a partícula alcançasse o interior do núcleo (distância menor que o raio nuclear), interações nucleares fortes mudariam o espalhamento e a fórmula de Rutherford deixaria de descrever os dados. - Portanto, se a fórmula de Rutherford funciona para todos os ângulos medidos, isso indica que as
não penetraram no núcleo: a distância de aproximação mais próxima (para colisão frontal) é maior que o raio nuclear. Assim, a distância de aproximação calculada fornece um limite superior para o raio nuclear.
Passo 3
Fórmula matemática para a distância de aproximação mais próxima (distância de aproximação clássica, colisão frontal):
- A energia cinética inicial
é transformada na energia potencial eletrostática entre as cargas e :
onde
-
é a energia cinética da (em joules ou em MeV, conforme conveniência), -
e são os números atômicos das partículas ( para , para ouro), -
é a carga elementar, -
é a distância de aproximação (o que queremos estimar), -
é a constante eletrostática. - Despejando
:
Passo 4
Usar unidades convenientes (MeV e femtômetros) para simplificar:
- É prático usar a constante conhecida
Isto é, a energia potencial eletrostática entre cargas unitárias separadas por
é aproximadamente
.
- Assim, em unidades
e temos
Passo 5
Substituir os valores:
-
, então . -
. - Calcular o numerador:
- Dividir por
:
Passo 6
Converter para metros e interpretar:
-
, então
- Interpretação: como as medições obedeciam à lei de Rutherford (sem sinais de interação nuclear), o núcleo do ouro deve ter raio menor que essa distância de aproximação. Logo esse valor é um limite superior para o raio nuclear do ouro.
Passo 7
Observações finais e ânimo:
- Resultado prático:
(aprox. ). - Relaxa: a conta é simples e direta na prova — lembrar da igualdade energia cinética = energia potencial e do valor útil
salva trabalho de conversão. Você está indo bem!