Geiger e Marsden usaram partículas \alpha de 7,7 \mathrm{MeV} e descobriram que a contagem de espalhamento em todos os ângulos concordava com a fórmula de Rutherford. Use este fato para calcular um limite superior para o raio do núcleo de ouro.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Dado: partículas \alpha com energia \,7,7\\ \mathrm{MeV}.
  • Dado: a contagem de espalhamento em todos os ângulos concorda com a fórmula de Rutherford (ou seja, o espalhamento observável é puramente eletrostático — sem contribuição detectável da força nuclear).
  • Informação necessária que vou usar (não é solução, só dados): o número atômico do ouro é Z_{\mathrm{Au}}=79 e o \alpha tem Z_{\alpha}=2.
  • Pergunta: usar esse fato para calcular um limite superior para o raio do núcleo de ouro (isto é, estimar um valor tal que o núcleo tenha raio menor ou igual a esse, caso contrário veríamos desvios da lei de Rutherford).

Passo 2

Ideia física e por que isso dá um limite para o raio:
  • Se uma partícula \alpha se aproximar de uma carga Z suficientemente, a menor distância que ela consegue atingir (no caso extremo de colisão central, “head-on”) é aquela em que toda a sua energia cinética inicial foi convertida em energia potencial elétrica. Se a partícula alcançasse o interior do núcleo (distância menor que o raio nuclear), interações nucleares fortes mudariam o espalhamento e a fórmula de Rutherford deixaria de descrever os dados.
  • Portanto, se a fórmula de Rutherford funciona para todos os ângulos medidos, isso indica que as \alpha não penetraram no núcleo: a distância de aproximação mais próxima (para colisão frontal) é maior que o raio nuclear. Assim, a distância de aproximação calculada fornece um limite superior para o raio nuclear.

Passo 3

Fórmula matemática para a distância de aproximação mais próxima (distância de aproximação clássica, colisão frontal):
  • A energia cinética inicial E é transformada na energia potencial eletrostática entre as cargas Z_{1}e e Z_{2}e:
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{d},
onde
  • E é a energia cinética da \alpha (em joules ou em MeV, conforme conveniência),
  • Z_{1} e Z_{2} são os números atômicos das partículas ( Z_{1}=2 para \alpha, Z_{2}=79 para ouro),
  • e é a carga elementar,
  • d é a distância de aproximação (o que queremos estimar),
  • 1/(4\pi\varepsilon_{0}) é a constante eletrostática.
  • Despejando d:
d = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{E}.

Passo 4

Usar unidades convenientes (MeV e femtômetros) para simplificar:
  • É prático usar a constante conhecida
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}e^{2}\approx 1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.
Isto é, a energia potencial eletrostática entre cargas unitárias separadas por 1\\ \mathrm{fm} é aproximadamente 1,44\\ \mathrm{MeV}.
  • Assim, em unidades \mathrm{MeV} e \mathrm{fm} temos
d(\mathrm{fm})=\frac{1,44\\ Z_{1}Z_{2}}{E(\mathrm{MeV})}.

Passo 5

Substituir os valores:
  • Z_{1}=2, Z_{2}=79 então Z_{1}Z_{2}=158.
  • E=7,7\\ \mathrm{MeV}.
  • Calcular o numerador:
1,44\times158 = 227,52\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.
  • Dividir por E:
d(\mathrm{fm})=\frac{227,52}{7,7}=29,57\\ \mathrm{fm}.

Passo 6

Converter para metros e interpretar:
  • 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}, então
d=29,57\\ \mathrm{fm}=29,57\times10^{-15}\\ \mathrm{m}=2,957\times10^{-14}\\ \mathrm{m}\approx3,0\times10^{-14}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: como as medições obedeciam à lei de Rutherford (sem sinais de interação nuclear), o núcleo do ouro deve ter raio menor que essa distância de aproximação. Logo esse valor é um limite superior para o raio nuclear do ouro.

Passo 7

Observações finais e ânimo:
  • Resultado prático: R_{\text{núcleo}}\lesssim3,0\times10^{-14}\\ \mathrm{m}ú (aprox. 30\\ \mathrm{fm}).
  • Relaxa: a conta é simples e direta na prova — lembrar da igualdade energia cinética = energia potencial e do valor útil 1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm} salva trabalho de conversão. Você está indo bem!

Resposta

R_{\text{núcleo}}\lesssim 3,0\times10^{-14}\\ \mathrm{m}\\ \approx 30\\ \mathrm{fm}ú

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