Construa um gráfico de Moseley para os raios \mathrm{X} K_{\beta} dos elementos listados: \mathrm{Al}(1,56 keV ), \mathrm{Ar}(3,19 \mathrm{keV}), \mathrm{Sc}(4,46 \mathrm{keV}), \mathrm{Fe}(7,06 \mathrm{keV}), \mathrm{Ge}(10,98 \mathrm{keV}), \mathrm{Kr}(14,10 \mathrm{keV}), \mathrm{Zr}(17,66 \mathrm{keV}) e \mathrm{Ba}(36,35 \mathrm{keV}). Determine a inclinação do gráfico.

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos. O enunciado pede: construir um gráfico de Moseley para as linhas K_{\beta} dos elementos indicados e determinar a inclinação (slope) desse gráfico.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Alumínio: Z=13, E=1,56\\ \mathrm{keV}.
  • Argônio: Z=18, E=3,19\\ \mathrm{keV}.
  • Escândio: Z=21, E=4,46\\ \mathrm{keV}.
  • Ferro: Z=26, E=7,06\\ \mathrm{keV}.
  • Germânio: Z=32, E=10,98\\ \mathrm{keV}.
  • Criptônio: Z=36, E=14,10\\ \mathrm{keV}.
  • Zircônio: Z=40, E=17,66\\ \mathrm{keV}.
  • Bário: Z=56, E=36,35\\ \mathrm{keV}.

Passo 2

Por que traçar \sqrt{E} versus Z (a ideia por trás da lei de Moseley) — aula rápida e intuitiva.
  • Moseley observou experimentalmente que, para transições K em raios X, a frequência \nu satisfaz aproximadamente
\sqrt{\nu}=A\,(Z-\sigma),
onde A e \sigma são constantes para o tipo de linha ( K_\alpha, K_\beta, …).
  • A energia dos fótons está relacionada à frequência por E=h\nu. Tomando raiz quadrada:
\sqrt{E}=\sqrt{h}\,\sqrt{\nu} = a\,(Z-b),
onde a=\sqrt{h}\,A e b=\sigma (constantes que dependem da linha). Portanto, um gráfico de \sqrt{E} versus Z deve ser aproximadamente uma reta. A inclinação dessa reta é a.
  • Aqui vamos construir essa reta empiricamente a partir dos dados e obter a inclinação por regressão linear (mínimos quadrados). Variáveis:
    • Z: número atômico (independente).
    • y=\sqrt{E}: variável dependente que vamos calcular a partir de E.

Passo 3

Calcular \sqrt{E} para cada elemento (aproximações numéricas, cada valor matemático entre ...).
\begin{array}{ll} \text{Al: } & Z=13,\quad E=1,56\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 1,25\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Ar: } & Z=18,\quad E=3,19\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 1,786\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Sc: } & Z=21,\quad E=4,46\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 2,112\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Fe: } & Z=26,\quad E=7,06\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 2,657\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Ge: } & Z=32,\quad E=10,98\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 3,314\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Kr: } & Z=36,\quad E=14,10\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 3,754\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Zr: } & Z=40,\quad E=17,66\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 4,203\\ \mathrm{keV}^{1/2},\\[4pt] \text{Ba: } & Z=56,\quad E=36,35\\ \mathrm{keV}\Rightarrow \sqrt{E}\approx 6,029\\ \mathrm{keV}^{1/2}.\\\ \end{array}
Esses são os pontos que vão para o gráfico \bigl(Z,\sqrt{E}\bigr).]

Passo 4

Como obter a inclinação numericamente (regressão linear por mínimos quadrados) — fórmula e explicação.
  • Defina y_i=\sqrt{E_i} e x_i=Z_i.
  • Para ajustar uma reta y=m x + c por mínimos quadrados, a inclinação m é dada por
m=\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2}},
onde
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{N}\sum_i y_i.
  • Isso minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais (y_i-(m x_i+c))^2. Aqui usamos essa fórmula porque é um método padrão e rápido para obter a inclinação da melhor reta que passa pelos dados experimentais.

Passo 5

Calcular médias \bar{x} e \bar{y}.
  • Soma dos Z:
\sum_i Z_i=13+18+21+26+32+36+40+56=242,
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\bar{x}=\frac{242}{8}=30,25.
  • Soma dos y_i=\sqrt{E_i} (usei os valores do Passo 3):
\sum_i y_i \approx 1,25+1,786+2,112+2,657+3,314+3,754+4,203+6,029\approx 25,105,
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\bar{y}\approx\frac{25,105}{8}\approx 3,138125.

Passo 6

Calcular os somatórios necessários ponto a ponto: \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e \sum (x_i-\bar{x})^2.
  • Para cada ponto calculei x_i-\bar{x}, y_i-\bar{y}, o produto e o quadrado. Os valores aproximados (arredondados nas contas intermediárias) são:
\begin{array}{cccc} x_i & y_i & (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) & (x_i-\bar{x})^2\\[4pt] 13 & 1,25 & \approx 32,57016 & \approx 297,5625\\[4pt] 18 & 1,786 & \approx 16,56353 & \approx 150,0625\\[4pt] 21 & 2,112 & \approx 9,49166 & \approx 85,5625\\[4pt] 26 & 2,657 & \approx 2,04478 & \approx 18,0625\\[4pt] 32 & 3,314 & \approx 0,30778 & \approx 3,0625\\[4pt] 36 & 3,754 & \approx 3,54128 & \approx 33,0625\\[4pt] 40 & 4,203 & \approx 10,38253 & \approx 95,0625\\[4pt] 56 & 6,029 & \approx 74,44003 & \approx 663,0625\\\ \end{array}
  • Somando esses valores:
\sum_i (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\approx 149,34175,
\sum_i (x_i-\bar{x})^{2}\approx 1345,5.]

Passo 7

Calcular a inclinação m e apresentar o resultado.
  • Aplicando a fórmula:
m=\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2}} \approx\frac{149,34175}{1345,5}\approx 0,11099.
  • Arredondando para três algarismos significativos, obtemos
m\approx 0,111\\ \mathrm{keV}^{1/2}\\ \text{por unidade de }Z.
Uma observação final rápida e amiga: esse valor é a inclinação empírica da reta \sqrt{E}=mZ+c para as linhas K_{\beta} desses elementos; pequena discrepância experimental/numérica pode ocorrer por arredondamento dos dados originais ou por efeitos de blindagem ligeiramente diferentes entre elementos.

Resposta

m \approx 0,111\\ \mathrm{keV}^{1/2} por unidade de Z

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