Construa um gráfico de Moseley para os raios
dos elementos listados:
keV ),
,
e
. Determine a inclinação do gráfico.
Passo 1
O que o exercício pede e os dados que temos. O enunciado pede: construir um gráfico de Moseley para as linhas
dos elementos indicados e determinar a inclinação (slope) desse gráfico.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
- Alumínio:
, . - Argônio:
, . - Escândio:
, . - Ferro:
, . - Germânio:
, . - Criptônio:
, . - Zircônio:
, . - Bário:
, .
Passo 2
Por que traçar
versus
(a ideia por trás da lei de Moseley) — aula rápida e intuitiva.
- Moseley observou experimentalmente que, para transições
em raios X, a frequência satisfaz aproximadamente
onde
e
são constantes para o tipo de linha (
,
, …).
- A energia dos fótons está relacionada à frequência por
. Tomando raiz quadrada:
onde
e
(constantes que dependem da linha). Portanto, um gráfico de
versus
deve ser aproximadamente uma reta. A inclinação dessa reta é
.
- Aqui vamos construir essa reta empiricamente a partir dos dados e obter a inclinação por regressão linear (mínimos quadrados). Variáveis:
-
: número atômico (independente). -
: variável dependente que vamos calcular a partir de .
-
Passo 3
Calcular
para cada elemento (aproximações numéricas, cada valor matemático entre
).
Esses são os pontos que vão para o gráfico
.]
Passo 4
Como obter a inclinação numericamente (regressão linear por mínimos quadrados) — fórmula e explicação.
- Defina
e . - Para ajustar uma reta
por mínimos quadrados, a inclinação é dada por
onde
- Isso minimiza a soma dos quadrados dos desvios verticais
. Aqui usamos essa fórmula porque é um método padrão e rápido para obter a inclinação da melhor reta que passa pelos dados experimentais.
Passo 5
Calcular médias
e
.
- Soma dos
:
logo
- Soma dos
(usei os valores do Passo 3):
logo
Passo 6
Calcular os somatórios necessários ponto a ponto:
e
.
- Para cada ponto calculei
, , o produto e o quadrado. Os valores aproximados (arredondados nas contas intermediárias) são:
- Somando esses valores:
Passo 7
Calcular a inclinação
e apresentar o resultado.
- Aplicando a fórmula:
- Arredondando para três algarismos significativos, obtemos
Uma observação final rápida e amiga: esse valor é a inclinação empírica da reta
para as linhas
desses elementos; pequena discrepância experimental/numérica pode ocorrer por arredondamento dos dados originais ou por efeitos de blindagem ligeiramente diferentes entre elementos.