Qual é o raio aproximado da órbita n=1 do ouro ( Z=79 )? Compare com o raio do núcleo de ouro, cerca de 7,1 \mathrm{fm}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o raio aproximado da órbita n=1 do átomo de ouro com número atômico Z=79.
  • Comparar esse raio com o raio do núcleo de ouro, dado como 7{,}1\\ \mathrm{fm}.
As informações dadas:
  • Z=79.
  • n=1.
  • Raio do núcleo: 7{,}1\\ \mathrm{fm}.

Passo 2

Aplicar a fórmula da órbita de Bohr para átomos hidrogenoides (átomos com um elétron efetivo), que é apropriada para obter uma estimativa do raio da órbita n:
r_n=\frac{n^{2}a_{0}}{Z}.
Explicando a fórmula com calma:
  • r_n é o raio da órbita do elétron no nível principal n.
  • n é o número quântico principal (aqui n=1).
  • a_{0} é o raio de Bohr, uma constante que representa o raio da órbita fundamental do hidrogênio ( Z=1). Valor numérico aproximado:
a_{0}\approx 5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Z é o número atômico (a carga nuclear), que diminui o raio em proporção a 1/Z para átomos hidrogenoides.
Breve intuição física: quanto maior Z, mais forte a atração nuclear sobre o elétron e menor é o raio da órbita; o fator n^{2} faz níveis excitados ( n>1) serem maiores.

Passo 3

Substituir n=1 e Z=79 na fórmula:
r_{1}=\frac{1^{2}\,a_{0}}{79}=\frac{a_{0}}{79}.

Passo 4

Fazer o cálculo numérico em metros:
r_{1}=\frac{5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}}{79}.
Calcular a divisão passo a passo:
\frac{5{,}29}{79}\approx 0{,}06696,
logo
r_{1}\approx 0{,}06696\times10^{-11}\\ \mathrm{m}=6{,}696\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
r_{1}\approx 6{,}70\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter para femtômetros ( 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}):
r_{1}=6{,}696\times10^{-13}\\ \mathrm{m}=\frac{6{,}696\times10^{-13}}{10^{-15}}\\ \mathrm{fm}=6{,}696\times10^{2}\\ \mathrm{fm}.
Arredondando:
r_{1}\approx 6{,}70\times10^{2}\\ \mathrm{fm}\approx 670\\ \mathrm{fm}.

Passo 6

Comparação com o raio do núcleo 7{,}1\\ \mathrm{fm}. Calcular a razão:
\frac{r_{1}}{r_{\text{núcleo}}}\approx\frac{6{,}70\times10^{2}\\ \mathrm{fm}}{7{,}1\\ \mathrm{fm}}\approx 94{,}3.ú
Interpretação: a órbita n=1 estimada pela fórmula de Bohr para ouro é cerca de 94 vezes maior que o raio do núcleo; ou seja, mesmo o nível fundamental do elétron está muito mais distante que o tamanho do núcleo (duas ordens de magnitude aproximadamente).

Resposta

r_{n=1}\approx 6{,}70\times10^{-13}\\ \mathrm{m}\approx 6{,}70\times10^{2}\\ \mathrm{fm}
A órbita n=1 é cerca de \displaystyle 94 vezes maior que o raio do núcleo ( 7{,}1\\ \mathrm{fm}).

Exercícios relacionados