Un generador de ca puede modelarse como una fuente de voltaje en serie con una impedancia de 0.5+j 10 \Omega. Se conecta a una línea de transmisión que tiene una impedancia equivalente en serie de 5+j 12 \Omega por medio de un transformador elevador ideal con una relación a de 0.05 . Un transformador reductor ideal con relación a de 25 se conecta el otro extremo de la línea de transmisión a una impedancia de carga de 30+j 40 \Omega. Si el voltaje de carga es 240 V , determine a) la potencia que se suministra a la carga, b) la potencia que disipa la línea de transmisión, c) el voltaje en el generador, y d) la potencia suministrada por el generador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os dados numéricos (peguei todos do enunciado):
  • Impedância interna do generador: \;Z_g=0{,}5 + j\,10\\ \Omega.
  • Linha de transmissão equivalente (em série): \;Z_{linha}=5 + j\,12\\ \Omega.
  • Transformador elevador ideal entre generador e linha com relação de espiras \;a_1=0{,}05.
  • Transformador reductor ideal no otro extremo da línea con relación de espiras \;a_2=25.
  • Carga conectada al secundario del transformador reductor: \;Z_L=30 + j\,40\\ \Omega.
  • Voltaje en la carga (rms): \;V_L=240\\ \text{V}.
O enunciado pede:
(a) la potencia que se suministra a la carga (potencia real entregada a la carga);
(b) la potencia que disipa la línea de transmisión (potencia real en la resisténcia de la línea);
(c) el voltaje en el generador (valor fasorial/magnitud y ángulo del voltaje del generador);
(d) la potencia suministrada por el generador (potencia real entregada por la fuente).

Passo 2

Conceitos y fórmulas esenciales (breve repasito útil para la resolución; cada símbolo está explicado):
  • Ley de Ohm en fasores: \;I=\dfrac{V}{Z}, donde \;V es el voltaje fasor (rms), \;Z la impedancia compleja y \;I la corriente fasor.
  • Potencia compleja: \;S=V I^{*}. Donde \;P=\Re(S) es la potencia activa (W) y \;Q=\Im(S) la reactiva (VAR). I^{*} es el conjugado de la corriente fasor.
  • Transformador ideal, relación de espiras \;a=\dfrac{N_p}{N_s}:
    • Relación de tensiones: \;V_p/V_s=a.
    • Relación de corrientes: \;I_p/I_s=1/a.
    • Impedancia referida del primario al secundario: \;Z_s = Z_p / a^2. (De la misma forma \;Z_p = a^2 Z_s.)
      Explicación corta: si se quiere traer una impedancia de un lado del transformador al otro, se multiplica por a^2 u divide por a^2 según la dirección de referencia. Esto es importante para hallar corrientes/tensiones en cada lado.

Passo 3

Calcular la corriente en la carga y la potencia que absorbe la carga (parte (a)).
  • Usar \;I_L=\dfrac{V_L}{Z_L} con \;Z_L=30 + j\,40 y \;V_L=240.
I_L=\dfrac{240}{30 + j\,40}.
Calculamos dividiendo por el conjugado:
30 + j\,40 \text{ tiene } |30+j40|^2=30^2+40^2=2500.
I_L=240\cdot\dfrac{30 - j\,40}{2500}=0{,}096\,(30 - j\,40)=2{,}88 - j\,3{,}84\\ \text{A}.
  • Potencia compleja en la carga:
S_L = V_L\,I_L^{*}=240\,(2{,}88 + j\,3{,}84)=691{,}2 + j\,921{,}6\\ \text{VA}.
Por tanto la potencia activa entregada a la carga (respuesta de la parte (a)) es
P_{carga}=691{,}2\\ \text{W}.
(Se puede también anotar Q_{carga}=921{,}6\\ \text{VAR}.)

Passo 4

Encontrar la corriente en la línea y la potencia disipada en la línea (parte (b)). Necesitamos relacionar corrientes a través del transformador reductor \;a_2=25.
  • Relación de corrientes en el transformador reductor: \;I_{prim2}/I_{sec2}=1/a_2. Aquí la corriente del secundario es I_L y la corriente en la línea (primario del segundo transformador) es \;I_{linha}=I_{p2}=I_L\cdot\dfrac{1}{a_2}.
I_{linha}= \dfrac{I_L}{25} = \dfrac{2{,}88 - j\,3{,}84}{25}=0{,}1152 - j\,0{,}1536\\ \text{A}.
  • Potencia real disipada en la resistenca de la línea (solo la parte resistiva R_{linha}=5\\ \Omega):
P_{linha}=|I_{linha}|^2\cdot R_{linha}.
Calcular norma al cuadrado:
|I_{linha}|^2=(0{,}1152)^2+(0{,}1536)^2=0{,}036864.
Entonces
P_{linha}=0{,}036864\cdot 5 = 0{,}18432\\ \text{W}.
(Valor muy pequeño porque la corriente en la línea es pequeña debido a las relaciones de transformador.)

Passo 5

Determinar tensiones en el lado de la línea y en el primario del transformador reductor (preparación para hallar el voltaje del generador).
  • Tensión en el primario del transformador reductor (lado de la línea), usando la relación de tensiones \;V_p = a_2\,V_s con a_2=25 y V_s=V_L:
V_{p2}=a_2\,V_L=25\cdot 240 = 6000\\ \text{V}.
Este es el voltaje en el extremo de la línea cercano al transformador reductor (punto de recepción).
  • Caída de tensión en la línea: \;V_{drop\_linha}=I_{linha}\,Z_{linha}.
V_{drop\_linha}=(0{,}1152 - j\,0{,}1536)\,(5 + j\,12).
Multiplicando:
V_{drop\_linha}=2{,}4192 + j\,0{,}6144\\ \text{V}.
  • Tensión en el extremo de envío de la línea (secundario del transformador elevador / secundario del primer transformador) es suma de la tensión en recepción más la caída:
V_{envio\_linha}=V_{p2}+V_{drop\_linha}=6000 + (2{,}4192 + j\,0{,}6144)=6002{,}4192 + j\,0{,}6144\\ \text{V}.

Passo 6

Relación con el primer transformador (elevador) y corriente en el generador para poder calcular el voltaje del generador y su potencia (parte (c) y (d)).
  • Transformador elevador: \;a_1=0{,}05 con convención a_1=N_p/N_s. Entonces la tensión en el primario (lado del generador) es
V_{p1}=a_1\,V_{s1}=a_1\cdot V_{envio\_linha}=0{,}05\,(6002{,}4192 + j\,0{,}6144).
V_{p1}=300{,}12096 + j\,0{,}03072\\ \text{V}.
  • Corriente en el primario del primer transformador (corriente suministrada por el generador) cumple \;I_{p1}=I_{s1}\cdot\dfrac{1}{a_1} y \;I_{s1}=I_{linha}. Por tanto
I_{g}=I_{p1}=\dfrac{I_{linha}}{a_1}=\dfrac{0{,}1152 - j\,0{,}1536}{0{,}05}=2{,}304 - j\,3{,}072\\ \text{A}.

Passo 7

Calcular el voltaje del generador (fasor) y su potencia suministrada (parte (c) y (d)).
  • El generador tiene una fem E_g y una impedancia interna \;Z_g. La tensión en el primario del transformador es la tensión en los terminales del generador después de la caída en Z_g:
E_g = V_{p1} + I_{g}\,Z_g.
Ya tenemos V_{p1}=300{,}12096 + j\,0{,}03072 V, I_g=2{,}304 - j\,3{,}072 A y Z_g=0{,}5 + j\,10\\ \Omega.
  • Calcular I_g Z_g:
I_g Z_g = (2{,}304 - j\,3{,}072)(0{,}5 + j\,10)=31{,}872 + j\,21{,}504\\ \text{V}.
  • Entonces
E_g = (300{,}12096 + j\,0{,}03072) + (31{,}872 + j\,21{,}504) = 331{,}99296 + j\,21{,}53472\\ \text{V}.
  • Magnitud y ángulo del voltaje del generador:
|E_g|=\sqrt{331{,}99296^2 + 21{,}53472^2}\approx 332{,}7\\ \text{V}, \qquad \angle E_g=\arctan\!\left(\dfrac{21{,}53472}{331{,}99296}\right)\approx 3{,}72^\circ.
Por tanto como fasor: \;\tilde{E}_g \approx 332{,}7\angle 3{,}72^\circ\\ \text{V} (o en forma rectangular \;331{,}993 + j\,21{,}535\\ \text{V}, aproximado).
  • Potencia suministrada por el generador: usar S_g = E_g\,I_g^{*}.
I_g^{*}=2{,}304 + j\,3{,}072.
S_g=(331{,}99296 + j\,21{,}53472)(2{,}304 + j\,3{,}072)\approx 698{,}757 + j\,1069{,}498\\ \text{VA}.
De ahí la potencia activa suministrada por el generador es
P_{gen}=\Re(S_g)\approx 698{,}8\\ \text{W}.
Observación física: esas \approx 698{,}8\\ \text{W} se reparten como 691{,}2\\ \text{W} a la carga, \approx 0{,}1843\\ \text{W} en la línea, y el resto \approx 7{,}3728\\ \text{W} se disipa en la resisténcia interna del generador \;R_g=0{,}5\\ \Omega (coincide con I_g^2 R_g).

Resposta

(a) P_{carga}=691{,}2\\ \text{W} (potencia compleja S_{carga}=691{,}2 + j\,921{,}6\\ \text{VA})
(b) P_{linha}=0{,}18432\\ \text{W}
(c) \tilde{E}_g \approx 331{,}993 + j\,21{,}535\\ \text{V}\approx 332{,}7\angle 3{,}72^\circ\\ \text{V}
(d) P_{gen}\approx 698{,}8\\ \text{W} (potencia compleja S_{gen}\approx 698{,}757 + j\,1069{,}498\\ \text{VA})

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