Un transformador elevador de 240 kVA y 480 / 4800 \mathrm{~V} tiene las constantes siguientes: R_{H}=2.5 \Omega, X_{H}=5.75 \Omega, R_{L}=25 \mathrm{~m} \Omega, X_{L}=57.5 \mathrm{~m} \Omega. El transformador opera a 50 \% de su carga especificada. Si la carga es puramente resistiva, determine a) el voltaje aplicado en el lado primario, b) la corriente en el secundario, c) la corriente primaria, y d ) la eficiencia del transformador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei todos os números diretamente do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Potência nominal do transformador: \,240\\ \mathrm{kVA}.
  • Tensões nominais: \,480/4800\\ \mathrm{V} (lado primário é \,480\\ \mathrm{V} e secundário é \,4800\\ \mathrm{V}).
  • Constantes (resistências e reatâncias das bobinas):
    • Lado de alta tensão (secundário): R_H=2{,}5\\ \Omega,\; X_H=5{,}75\\ \Omega.
    • Lado de baixa tensão (primário): R_L=25\\ \mathrm{m}\Omega,\; X_L=57{,}5\\ \mathrm{m}\Omega.
  • O transformador opera a 50\% da sua carga especificada.
  • A carga é puramente resistiva (fator de potência =1).
O enunciado pede:
(a) o voltaje aplicado no lado primário (módulo) quando o transformador fornece essa carga;
(b) a corrente no secundário;
(c) a corrente no primário;
(d) a eficiência do transformador (assumir que não há outras perdas além das perdas ôhmicas se nenhuma perda de núcleo for dada).

Passo 2

Entender a relação de transformação e como referir impedâncias entre lados.
  • A relação de tensão (razão de espiras) é
a=\frac{V_2}{V_1}=\frac{4800}{480}=10.
Isto significa que tensões se relacionam por um fator 10 e correntes por 1/10 (corrente no primário é 10 vezes a do secundário, porque potência aproximada se conserva).
  • Para somar impedâncias internas em série convenientemente, é comum referir tudo a um mesmo lado. Vou calcular as quedas de tensão e a f.e.m. interna no lado secundário (alta tensão), porque R_H,X_H já estão nesse lado. As impedâncias do primário ( R_L,X_L ) podem ser referidas ao lado secundário multiplicando por a^2=10^2=100. Observação: verificando os números, R_L\cdot100 = 25\\ \mathrm{m}\Omega\cdot100 = 2{,}5\\ \Omega = R_H, e o mesmo para X — os dados são consistentes.

Passo 3

Calcular a potência e corrente no secundário para 50\% de carga (carga resistiva).
  • Potência aparente de carga a 50\%:
S_{load}=0{,}5\cdot 240\\ \mathrm{kVA}=120\\ \mathrm{kVA}=120000\\ \mathrm{VA}.
  • Como a carga é puramente resistiva, o fator de potência =1 e a potência ativa é
P_{out}=120000\\ \mathrm{W}.
  • Corrente na carga (corrente no secundário, valor eficaz) usando a tensão nominal do secundário \,V_2=4800\\ \mathrm{V}:
I_2=\frac{S_{load}}{V_2}=\frac{120000}{4800}=25\\ \mathrm{A}.
(Comentário: aqui assumimos que a tensão nos terminais do secundário é a tensão nominal \,4800\\ \mathrm{V} — normalmente o enunciado pede isto; se pedisse o terminal secundário diferente, deveríamos adaptar.)

Passo 4

Referir impedâncias ao lado secundário e calcular a impedância total série interna vista pelo secundário.
  • Referindo as impedâncias do primário ao secundário multiplicando por a^2=100:
R_L' = R_L\cdot100 = 25\\ \mathrm{m}\Omega \cdot 100 = 2{,}5\\ \Omega,
X_L' = X_L\cdot100 = 57{,}5\\ \mathrm{m}\Omega \cdot 100 = 5{,}75\\ \Omega.
  • Somando com os valores já fornecidos no lado secundário:
R_{eq}=R_H + R_L' = 2{,}5 + 2{,}5 = 5{,}0\\ \Omega,
X_{eq}=X_H + X_L' = 5{,}75 + 5{,}75 = 11{,}5\\ \Omega.
  • Impedância equivalente em série (no lado secundário):
Z_{eq}=R_{eq}+jX_{eq}=5{,}0 + j\,11{,}5\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a queda de tensão interna no lado secundário e a f.e.m. induzida no enrolamento secundário (phasor).
  • A corrente no secundário (phasor) é \,I_2=25\angle 0^\circ\\ \mathrm{A} pois a carga é puramente resistiva e tomamos a tensão terminal \,V_2=4800\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} como referência.
  • Queda de tensão interna (phasor):
\Delta V = I_2 Z_{eq} = 25\,(5{,}0 + j\,11{,}5)=125 + j\,287{,}5\\ \mathrm{V}.
  • A f.e.m. induzida (ou tensão interna ideal) no secundário é a soma da tensão terminal com a queda interna:
E_2 = V_2 + \Delta V = 4800 + (125 + j\,287{,}5) = 4925 + j\,287{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Módulo de E_2:
|E_2|=\sqrt{4925^2 + 287{,}5^2}\approx 4933{,}45\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Determinar a tensão aplicada no primário (módulo) a partir de E_2.
  • A relação de transformação entre f.e.m. secundária e primária ideal é \,E_2=a\cdot E_1. Assim a tensão aplicada no primário (assumindo corrente de magnetização desprezível) tem módulo
|V_1|=\frac{|E_2|}{a}=\frac{4933{,}45}{10}\approx 493{,}345\\ \mathrm{V}.
  • Arredondando com dois decimais:
|V_1|\approx 493{,}35\\ \mathrm{V}.
(Comentário didático: isso mostra que para manter 4800\\ \mathrm{V} nos terminais do secundário sob carga, o primário precisa receber um pouco mais que a tensão nominal 480\\ \mathrm{V}, aqui cerca de 493{,}35\\ \mathrm{V}, para vencer a queda interna.)

Passo 7

Calcular as correntes (módulos e fases) no primário e secundário.
  • Já temos o secundário:
I_2 = 25\\ \mathrm{A}\quad(\text{ângulo }0^\circ).â
  • A corrente no primário (relação de transformação de correntes) é
I_1 = a\cdot I_2 = 10\cdot 25 = 250\\ \mathrm{A}.
  • Fase: como a carga é puramente resistiva, I_2 está em fase com V_2 (ângulo 0^\circ); a corrente primária idealmente tem o mesmo ângulo (desprezando correntes de magnetização), então
I_1 = 250\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Calcular perdas ôhmicas (perdas por efeito Joule) e a eficiência assumindo que não há perdas do núcleo fornecidas.
  • Perda no enrolamento da baixa tensão (primário), usando R_L=25\\ \mathrm{m}\Omega=0{,}025\\ \Omega e I_1=250\\ \mathrm{A}:
P_{cu,1}=I_1^2 R_L = 250^2 \cdot 0{,}025 = 62{,}500\cdot 0{,}025 =1562{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Perda no enrolamento da alta tensão (secundário), usando R_H=2{,}5\\ \Omega e I_2=25\\ \mathrm{A}:
P_{cu,2}=I_2^2 R_H = 25^2 \cdot 2{,}5 =625\cdot 2{,}5 =1562{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Perda ôhmica total:
P_{cu}=P_{cu,1}+P_{cu,2}=1562{,}5 + 1562{,}5 =3125{,}0\\ \mathrm{W} =3{,}125\\ \mathrm{kW}.
  • Como não foram fornecidas perdas no núcleo (perdas constantes), assumimos P_{core}=0. Assim a potência de saída é P_{out}=120{,}0\\ \mathrm{kW} e a potência de entrada é
P_{in}=P_{out}+P_{cu}=120000 + 3125 =123125\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência:
\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{120000}{123125}\approx 0{,}97464\approx 97{,}46\%.

Resposta

a) V_{1}\approx 493{,}35\\ \mathrm{V}
b) I_{2}=25\\ \mathrm{A}
c) I_{1}=250\\ \mathrm{A}
d) \eta \approx 97{,}46\\ \%

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