Um geotécnico a bordo de uma pequena embarcação está a uma certa distância de um paredão vertical que apresenta uma parte submersa.Usando um sonar que funciona tanto na água quanto no ar, ele observa que quando o aparelho está emerso, o intervalo de tempo entre a emissão do sinal e a recepção do eco é de 0,731 \mathrm{~s}, e que quando o aparelho está imerso, o intervalo de tempo entre emissão e a recepção diminui para 0,170 s. Calcule:
a) A razão entre a velocidade do som na água e a velocidade do som no ar.
b) A razão entre o comprimento de onda do som na água e o comprimento de onda do som no ar.

Passo 1

O enunciado descreve um geotécnico que, estando a uma distância fixa d de um paredão paralelo à embarcação, faz medições do tempo de eco de um sonar (ida e volta) em dois casos:
quando o aparelho está emerso, o tempo medido é
t_{\text{ar}} = 0,731\text{ s},
e quando o aparelho está imerso, o tempo medido é
t_{\text{água}} = 0,170\text{ s}.á
O conteúdo que vamos usar envolve a relação entre velocidade do som v, distância d e tempo de ida e volta de um eco, dada por
t = \frac{2d}{v},
e, em seguida, a relação entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda, que é
\lambda = \frac{v}{f}.

Passo 2

Em cada meio temos
t_{\text{ar}} = \frac{2d}{v_{\text{ar}}} \quad\text{e}\quad t_{\text{água}} = \frac{2d}{v_{\text{água}}}.áá
Como a distância d até o paredão é a mesma nos dois casos, podemos igualar d e obter
\frac{2d}{v_{\text{ar}}} \;=\; t_{\text{ar}}, \quad \frac{2d}{v_{\text{água}}} \;=\; t_{\text{água}} \;\;\Longrightarrow\;\; v_{\text{água}}\,t_{\text{água}} = v_{\text{ar}}\,t_{\text{ar}}.áááá
Dessa igualdade segue a razão entre as velocidades:
\frac{v_{\text{água}}}{v_{\text{ar}}} = \frac{t_{\text{ar}}}{t_{\text{água}}} = \frac{0,731}{0,170} \approx 4{,}30.áá

Passo 3

Para o comprimento de onda usamos \lambda = v/f. Sabendo que o sonar emite a mesma frequência f em ambos os meios, a razão entre os comprimentos de onda é
\frac{\lambda_{\text{água}}}{\lambda_{\text{ar}}} = \frac{v_{\text{água}}/f}{v_{\text{ar}}/f} = \frac{v_{\text{água}}}{v_{\text{ar}}} \approx 4{,}30.ááá

Resposta

a) \displaystyle \frac{v_{\text{água}}}{v_{\text{ar}}}\approx 4{,}30á
b) \displaystyle \frac{\lambda_{\text{água}}}{\lambda_{\text{ar}}}\approx 4{,}30á

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