Um gerador de 110 Vrms / 50 Hz alimenta duas cargas em paralelo: (i) um equipamento de impedância igual a Z=(2+j 5) Omega; e (ii) um motor elétrico de 5 cv , rendimento de 80 % e fator de potência igual a 0 , 7. Dimensione o capacitor que, se ligado em paralelo às cargas, torna o circuito ressonante. Considere 1 cv igual a 736 W .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que um gerador de 110 V rms e 50 Hz alimenta duas cargas em paralelo:
  1. Um equipamento cuja impedância é .
  2. Um motor de 5 cv (736 W por cv), eficiência de 80 % e fator de potência 0,7 (lagging).
O objetivo é achar o valor do capacitor, que colocado em paralelo às duas cargas, faz o circuito ficar ressonante (ou seja, a soma das partes imaginárias da admitância dá zero).
Para resolver, vamos precisar de:
  • Conceito de admitância e susceptância ( , com parte imaginária ).
  • Cálculo de potência ativa, reativa e relação com fator de potência.
  • Critério de ressonância em paralelo: a soma das susceptâncias (indutivas positivas, capacitivas negativas) deve ser zero.

Passo 2

Primeiro, calcula a admitância do equipamento com Y = 2 - j5(2 + j5)(2 - j5) = 2 - j52^2 + 5^2 = 2 - j529 = 0,0690 - j,0,1724 S .
Admitância é B1 = 0,1724 S . Pra facilitar, multiplica numerador e denominador pelo complexo conjugado:
A parte imaginária negativa indica comportar-se como carga indutiva. A susceptância indutiva é

Passo 3

Agora o motor. Primeiro converte 5 cv em potência de eixo:
Prm eixo = 5 times 736 = 3680 W
Como a eficiência é 80 %, a potência de entrada elétrica é
Prm in = 36800,8 = 4600 W
O fator de potência é Qrm m = Prm in,tanvarphi = 4600 times sinvarphicosvarphi = 4600 times 0,7140,7 approx 4680 VAr , logo B2 = Qrm mV^2 = 4680110^2 = 468012100 approx 0,387 S . A potência reativa consumida pelo motor é
Em termos de susceptância, lembrando , temos

Passo 4

Para ter ressonância em paralelo, a soma das susceptâncias indutivas ( B1 + B2 - Bc = 0 Longrightarrow Bc = B1 + B2 = 0,1724 + 0,387 = 0,5594 S ) deve ser compensada pela susceptância capacitiva Bc = omega C = 2pi f,C :
C = Bc2pi f = 0,55942pi times 50 approx 1,78times 10^-3 F = 1,78 mF
A relação entre e a capacitância é
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Resposta

O capacitor deve ter aproximadamente 1,78 mF.

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