Um gerador de 220 V rms / 60 Hz alimenta duas cargas em paralelo: Z1=(10+j5) Omega e Z1=(2+j 2) Omega. Dimensione o capacitor de capacitância Cx que, se instalado em paralelo às cargas, corrige o fator de potência do sistema para 0,92.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um gerador de 220 V (rms) a 60 Hz que alimenta duas cargas em paralelo
  • Z₁ = 10 + j 5 Ω
  • Z₂ = 2 + j 2 Ω
Queremos instalar um capacitor de capacitância Cₓ em paralelo a essas cargas para corrigir o fator de potência do sistema para 0,92 (atrasado).
Conteúdo envolvido:
• Circuitos de corrente alternada em regime senoidal (fasores)
• Cálculo de potência complexa S = P + jQ
• Correção de fator de potência (Q do capacitor)
• Relação entre Q do capacitor, tensão e capacitância
O que vamos precisar:
  1. Calcular a potência complexa de cada carga (S₁ e S₂) a partir de V e Z.
  2. Somar para achar P_total e Q_total (indutivo).
  3. Determinar a nova Q desejada para cos φ = 0,92.
  4. Achar quanto de Q o capacitor deve fornecer (Q_C).
  5. Usar Q_C = V²·ω·Cₓ para dimensionar Cₓ.

Passo 2

Calcular S₁ e S₂ usando S = V² / Z* (onde * é conjugado de Z)
Para Z₁ = 10 + j5:
Z₁* = 10 – j5
S₁ = V² · (Z₁*) / |Z₁|²
|Z₁|² = 10² + 5² = 125
S₁ = 220²·(10 – j5)/125
= 48400·(0,08 – j0,04)
= 3872 – j1936 VA
Para Z₂ = 2 + j2:
Z₂* = 2 – j2
|Z₂|² = 2² + 2² = 8
S₂ = 220²·(2 – j2)/8
= 48400·(0,25 – j0,25)
= 12100 – j12100 VA

Passo 3

Agora somamos S₁ + S₂ = S_total = P_total + j Q_total:
P_total = 3872 + 12100 = 15972 W
Q_total = (–1936) + (–12100) = –14036 var
Como o sinal de Q é negativo, ele indica carga indutiva de +14036 var.

Passo 4

Queremos um fator de potência cos φ_new = 0,92 (atrasado), então o ângulo φ_new = arccos(0,92) ≃ 23,07°.
A potência reativa líquida desejada passa a ser
Q_new = P_total · tan φ_new
= 15972 · tan(23,07°)
≃ 15972 · 0,4266
≃ 6816 var
Ou seja, depois de colocar o capacitor, o conjunto ainda terá 6816 var indutivos.
O capacitor deve fornecer a diferença:
Q_C = Q_total_abs – Q_new
= 14036 – 6816
= 7220 var
(Na prática a potência reativa do capacitor é –7220 var, mas aqui usamos o valor absoluto.)

Passo 5

Para um capacitor em paralelo, a potência reativa fornecida em valor absoluto é
Q_C = V² · ω · Cₓ, onde ω = 2π·60 ≃ 377 rad/s
Logo
Cₓ = Q_C / (V²·ω)
= 7220 / (220² · 377)
= 7220 / (48400 · 377)
≃ 3,96·10⁻⁴ F
= 396 µF

Resposta

Cₓ ≃ 396 µF

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