Um gerador de 220 V rms / 60 Hz alimenta duas cargas em paralelo: Z1=(1+j Xc) Omega e Z1=(2+j 1) Omega. Determinte um capacitor de reatância capacitiva Xc que corrija o fator de potência do circuito para 1,0.

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo: temos um gerador de 220 V (rms), 60 Hz, que alimenta duas cargas em paralelo. A primeira carga é uma série R–C com impedância
Z1 = 1 + jXc
e a segunda é
Z2 = 2 + j1
O objetivo é achar o valor de (reatância capacitiva dessa série) de modo que o fator de potência da combinação fique igual a 1.0 (ou seja, sem corrente reativa circulando).
Conteúdo que vamos usar:
  • Impedância e admitância em regime senoidal (conceito de e ).
  • Definição de fator de potência = 1 quando a parte imaginária da admitância total é zero.
  • Álgebra para resolver a equação que surgir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em paralelo, o que “some” é a admitância:
Yrm tot ;=; Y1 + Y2,
onde
Y1 = 1Z1 e Y2 = 1Z2
Se quisermos fator de potência unitário, não pode ter parte imaginária em ImY1 + Y2 = 0 . Então nosso critério será

Passo 3

Vamos calcular cada admitância:
  1. Y1 = 1 - jXc(1 + jXc)(1 - jXc) = 1 - jXc1 + Xc^2 = 11+Xc^2;-;j,Xc1+Xc^2 . Racionalizando:
ImY1 = -,Xc1+Xc^2
Então
Y2 = 2 - j12^2 + 1^2 = 2 - j15 = 25 ;-; j,15,
  1. ImY2 = -15 . Racionalizando:
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Passo 4

Agora impomos o fator de potência unitário, ou seja
ImY1 + ImY2 = 0 ;Longrightarrow; -Xc1+Xc^2;-;15 ;=; 0
Multiplicando tudo por -,Xc ;-;1+Xc^25 = 0 ;Longrightarrow; -5Xc ;-;(1+Xc^2) = 0 ;Longrightarrow; Xc^2 + 5Xc + 1 = 0 :

Passo 5

É uma equação quadrática em Xc = -5 pm raiz5^2 - 4cdot1cdot12 = -5 pm raiz25 - 42 = -5 pm raiz212 . Usando a fórmula

Resposta

As soluções para a reatância capacitiva são
boxedXc = -5 + raiz212approx -0,21 Omega ou Xc = -5 - raiz212approx -4,79 Omega
Qualquer um desses valores (ambos negativos, como deve ser a reatância de um capacitor) corrige o fator de potência para 1,0.

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