(1) Um gerador alimenta uma carga por meio de uma linha e são conhecidas as seguintes informações:
  1. Tensão no gerador 220 \mathrm{Vef}=60 \mathrm{~Hz}
  2. A carga é tipo impedância constante e absorve 10 kW com fator de potência 0,7 indutivo quando alimentada por 200 V
  3. Impedância da linha \mathbf{1 , 2 8} \boldsymbol{+} \mathbf{j 0 , 8} \boldsymbol{\Omega}
  4. Tomar \mathrm{V}_{\text {base }}=200 \mathrm{~V} \mathrm{e} \mathrm{S}_{\text {base }}=10 \mathrm{kVA}
Determine:
c) Capacitância do banco de capacitores que ligado em paralelo com a carga torne o fator de potência do conjunto carga + capacitor unitário

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a capacitância do banco ligado em paralelo com a carga de modo que o fator de potência do conjunto carga + capacitor seja unitário:
  • Tensão do gerador: 220\\ \mathrm{V_{ef}},\;60\\ \mathrm{Hz}.
  • A carga é do tipo impedância constante e, quando alimentada por 200\\ \mathrm{V}, absorve 10\\ \mathrm{kW} com fator de potência 0{,}7 (indutivo).
  • Impedância da linha: 1{,}28 + j0{,}8\\ \Omega.
  • Bases dadas: V_{\text{base}}=200\\ \mathrm{V} e S_{\text{base}}=10\\ \mathrm{kVA}.
O que se pede:
  • Determinar a capacitância C do banco de capacitores, ligado em paralelo com a carga, que faça o fator de potência do conjunto carga+capacitor igual a 1 (unitário).

Passo 2

Primeiro calculemos a potência aparente e a potência reativa da carga quando ela está a 200\\ \mathrm{V}.
Fórmulas úteis (explicação rápida):
  • A potência ativa é P.
  • O fator de potência é \cos\varphi. Para carga indutiva \varphi>0.
  • A potência aparente é S=\dfrac{P}{\cos\varphi}.
  • A potência reativa é Q=S\sin\varphi (positiva para carga indutiva).
Dados numéricos:
P=10\,000\\ \mathrm{W},\qquad \cos\varphi=0{,}7.
Calcule \varphi indiretamente por \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}:
\sin\varphi=\sqrt{1-0{,}7^2}=\sqrt{1-0{,}49}=\sqrt{0{,}51}\approx0{,}714177.
Agora S e Q:
S=\frac{P}{\cos\varphi}=\frac{10\,000}{0{,}7}\approx14\,285{,}714\\ \mathrm{VA},
Q=S\sin\varphi\approx14\,285{,}714\times0{,}714177\approx10\,202{,}53\\ \mathrm{var}.

Passo 3

Passemos para o sistema por unidades (p.u.), que facilita a manipulação.
Bases:
Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}}=\frac{200^2}{10\,000}=\frac{40\,000}{10\,000}=4\\ \Omega,
Y_{\text{base}}=\frac{1}{Z_{\text{base}}}=0{,}25\\ \mathrm{S}.
Tensão do gerador em p.u.:
V_g=\frac{220}{200}=1{,}1\\ \text{p.u.}
Potência da carga em p.u. (usando S_{\text{base}}=10\\ \mathrm{kVA}):
S_{L}=\frac{S}{S_{\text{base}}}=\frac{14\,285{,}714}{10\,000}=1{,}428571\\ \text{p.u.}
e a parte reativa em p.u. é Q_L=1{,}020253\\ \text{p.u.}

Passo 4

Relação útil entre potência e admitância (explicação didática):
  • Para uma admitância Y ligada aos terminais com tensão V, a potência complexa é \;S=V^2 Y^*.
  • Se tomarmos V=1 p.u. (a carga foi especificada para 200\\ \mathrm{V}, isto é 1 p.u.), então Y^*=S e portanto
Y=S^*.
Assim a admitância da carga em p.u. é simplesmente o conjugado de S_L:
Y_L = S_L^* = 1{,}428571 - j\,1{,}020253\\ \text{p.u.}
Portanto a parte imaginária (susceptância) da carga é
\Im\{Y_L\}=-1{,}020253\\ \text{p.u.}
(negativa porque é indutiva).

Passo 5

Condição para fator de potência unitário do conjunto carga + capacitor (explicação didática):
  • O capacitor, ligado em paralelo, adiciona uma susceptância positiva B_C (em p.u.).
  • A susceptância total no ponto da carga será \Im\{Y_{\text{total}}\}=\Im\{Y_L\}+B_C.
  • A potência reativa total absorvida pelo ramo será proporcional a -V_{\text{load}}^2\Im\{Y_{\text{total}}\}. Para que o fator de potência do conjunto seja unity, essa potência reativa total deve ser zero.
  • Como V_{\text{load}}\neq 0, a condição é simplesmente
\Im\{Y_{\text{total}}\}=0 \quad\Longrightarrow\quad B_C = -\Im\{Y_L\}.
Ou seja, basta cancelar a susceptância indutiva da carga com a susceptância capacitiva; isso é independente do valor exato de V_{\text{load}} por ser carga do tipo impedância (a relação é sobre admitâncias).
Substituindo:
B_C^{\text{(p.u.)}} = -(-1{,}020253)=1{,}020253\\ \text{p.u.}

Passo 6

Converta a susceptância em p.u. para a susceptância em siemens (S) no sistema real:
B_C = B_C^{\text{(p.u.)}}\times Y_{\text{base}} = 1{,}020253\times0{,}25 = 0{,}25506325\\ \mathrm{S}.

Passo 7

Relacione susceptância do capacitor com capacitância (explicação didática):
  • Para um capacitor ideal a frequência f (em Hz) e \omega=2\pi f, a susceptância é B_C=\omega C.
  • Logo
C=\frac{B_C}{\omega}=\frac{B_C}{2\pi f}.
Use f=60\\ \mathrm{Hz} e o valor de B_C obtido:
\omega=2\pi\cdot60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx376{,}991118\\ \mathrm{rad/s}.
C=\frac{0{,}25506325}{376{,}991118}\approx0{,}00067646\\ \mathrm{F}.
Em unidades práticas:
C\approx6{,}76\times10^{-4}\\ \mathrm{F}\approx676\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 8

Comentário de verificação rápida (opcional, para garantir coerência):
  • A susceptância p.u. calculada anula a parte imaginária da admitância da carga em p.u., portanto a potência reativa total no ramo carga+capacitância será zero, o que corresponde a fator de potência unitário do conjunto.

Resposta

C\approx6{,}76\times10^{-4}\\ \mathrm{F}\approx676\\ \mu\mathrm{F}

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