(1) Um gerador alimenta uma carga por meio de uma linha e são conhecidas as seguintes informações:
  1. Tensão no gerador 220 \mathrm{Vef}=60 \mathrm{~Hz}
  2. A carga é tipo impedância constante e absorve 10 kW com fator de potência 0,7 indutivo quando alimentada por 200 V
  3. Impedância da linha \mathbf{1 , 2 8} \boldsymbol{+} \mathbf{j 0 , 8} \boldsymbol{\Omega}
  4. Tomar \mathrm{V}_{\text {base }}=200 \mathrm{~V} \mathrm{e} \mathrm{S}_{\text {base }}=10 \mathrm{kVA}
Determine:
a) Tensão na carga

Passo 1

O enunciado pede calcular a tensão na carga (quando o gerador de 220\\ \mathrm{V_{ef}} alimenta a carga através de uma linha). Informações dadas:
  • Tensão do gerador: \,V_g = 220\\ \mathrm{V_{ef}} (60 Hz).
  • A carga é do tipo impedância constante e, quando alimentada por 200\\ \mathrm{V}, absorve P = 10\\ \mathrm{kW} com fator de potência \mathrm{pf}=0{,}7 indutivo (ou seja, corrente defasada atrasada em relação à tensão).
  • Impedância da linha: \,Z_{\text{linha}} = 1{,}28 + j0{,}8\\ \Omega.
  • Bases fornecidas: \,V_{\text{base}} = 200\\ \mathrm{V} e \,S_{\text{base}} = 10\\ \mathrm{kVA}. (Observação: usarei cálculos em ohms/volts/amperes; as bases foram informadas, mas o cálculo direto em unidades do SI é mais direto aqui.)
    O objetivo concreto: determinar \,V_{\text{carga}} (valor eficaz e fase) quando o gerador de 220\\ \mathrm{V} alimenta essa carga pela linha dada.

Passo 2

Entender e calcular a potência aparente e reativa da carga no ponto nominal ( 200\\ \mathrm{V}).
  • A potência ativa da carga é \,P = 10\\ \mathrm{kW} = 10\,000\\ \mathrm{W}.
  • A potência aparente é \,S = \dfrac{P}{\mathrm{pf}}. Explicação: o fator de potência é \mathrm{pf} = \cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente; e \,S = \dfrac{P}{\cos\varphi}. S = \dfrac{10\,000}{0{,}7} = 14\,285{,}714\\ \mathrm{VA}.
  • A potência reativa Q (positiva para carga indutiva) pode ser obtida por Q = S\sin\varphi ou por Q = P\tan\varphi. Primeiro obtemos \varphi = \operatorname{arccos}(\mathrm{pf}): \varphi = \operatorname{arccos}(0{,}7)\approx 45{,}573^\circ.Agora Q = S\sin\varphi. Como \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-0{,}7^2}: Q = 14\,285{,}714\cdot\sqrt{1-0{,}49}\approx 14\,285{,}714\cdot0{,}714177 \approx 10\,202{,}53\\ \mathrm{VAr}.
  • Então a potência complexa da carga, no ponto nominal 200\\ \mathrm{V}, é S_{\text{carga}} = P + jQ = 10\,000 + j\,10\,202{,}53\\ \mathrm{VA}.

Passo 3

Calcular a corrente que a carga consumiria se estivesse a 200\\ \mathrm{V}. Fórmula usada: \,S = V I^* (potência aparente = tensão vezes conjugado da corrente). Rearranjando,
I = \dfrac{S^*}{V}.
Explicação: escrever S = V I^* e isolar I resulta em I = (S)^*/V. Aqui usamos a tensão eficaz V=200\\ \mathrm{V} (valor nominal dado para a carga).
  • Substituindo valores: I = \dfrac{10\,000 - j\,10\,202{,}53}{200} = 50 - j\,51{,}01265\\ \mathrm{A}.
  • Este é o valor da corrente (fasor) correspondente à tensão de 200\\ \mathrm{V} no caso nominal. A sua magnitude e ângulo seriam |I| \approx 71{,}43\\ \mathrm{A},\qquad \angle I \approx -45{,}573^\circ,(corrente atrasada, como esperado para carga indutiva).

Passo 4

Calcular a impedância da carga (constante) a partir dos valores nominais. Fórmula: \,Z = \dfrac{V}{I}. Explicação: pela Lei de Ohm para fasores, tensão sobre corrente é a impedância.
  • Usando V=200\\ \mathrm{V} e I = 50 - j\,51{,}01265\\ \mathrm{A}: Z_{\text{carga}} = \dfrac{200}{50 - j\,51{,}01265}.Faça a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado): Z_{\text{carga}} = \dfrac{200(50 + j\,51{,}01265)}{50^2 + 51{,}01265^2} = \dfrac{10\,000 + j\,10\,202{,}53}{5\,102{,}289}.Calculando: Z_{\text{carga}} \approx 1{,}95983 + j\,2{,}00002\\ \Omega.
  • Observação física: para uma carga com \mathrm{pf}=0{,}7 indutivo e 200 V nominal, a impedância resultou aproximadamente 1{,}96 + j2{,}00\\ \Omega (ângulo de aproximadamente 45{,}573^\circ).

Passo 5

Montar o circuito equivalente e calcular a corrente real quando o gerador de 220\\ \mathrm{V} alimenta a carga pela linha.
  • Impedância total vista pelo gerador: Z_{\text{tot}} = Z_{\text{linha}} + Z_{\text{carga}} = (1{,}28 + j\,0{,}8) + (1{,}95983 + j\,2{,}00002).Portanto Z_{\text{tot}} \approx 3{,}23983 + j\,2{,}80002\\ \Omega.
  • Calcular módulo e ângulo de Z_{\text{tot}}: |Z_{\text{tot}}| = \sqrt{3{,}23983^2 + 2{,}80002^2}\approx 4{,}2826\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}} = \arctan\!\left(\dfrac{2{,}80002}{3{,}23983}\right)\approx 40{,}992^\circ.
  • A corrente fornecida pelo gerador é I = \dfrac{V_g}{Z_{\text{tot}}} = \dfrac{220\angle 0^\circ}{3{,}23983 + j\,2{,}80002}.Em forma polar: |I| = \dfrac{220}{4{,}2826}\approx 51{,}366\\ \mathrm{A},\qquad \angle I = -40{,}992^\circ,portanto I \approx 51{,}366\angle -40{,}992^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcular a tensão na carga a partir da corrente real: \,V_{\text{carga}} = I\cdot Z_{\text{carga}}. Explicação: queda de tensão no ramo da carga é simplesmente a corrente times a impedância da carga (produto de fasores).
  • Use I em forma polar e Z_{\text{carga}} em forma polar (ou faça multiplicação em retangular). Primeiro magnitude e ângulo de Z_{\text{carga}}: |Z_{\text{carga}}| \approx 2{,}79983\\ \Omega,\qquad \angle Z_{\text{carga}} \approx 45{,}573^\circ.
  • Então |V_{\text{carga}}| = |I|\cdot|Z_{\text{carga}}| \approx 51{,}366\cdot 2{,}79983 \approx 143{,}63\\ \mathrm{V},e o ângulo \angle V_{\text{carga}} = \angle I + \angle Z_{\text{carga}} \approx -40{,}992^\circ + 45{,}573^\circ = 4{,}581^\circ.
  • Em forma fasorial: V_{\text{carga}} \approx 143{,}6\angle 4{,}58^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Em componentes retangulares (útil para ver as partes real e imaginária): V_{\text{carga}} \approx 143{,}2 + j\,11{,}47\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Interpretação rápida do resultado (para te dar intuição): a carga era dimensionada para 200 V; com o gerador a 220\\ \mathrm{V} e a linha apresentando uma impedância significativa, a queda na linha reduz a tensão que chega à carga para aproximadamente 143{,}6\\ \mathrm{V}. Como a carga é de impedância constante, sua corrente e potência consumida diminuirão em comparação ao caso ideal de 200 V.

Resposta

V_{\text{carga}} \approx 143{,}6\angle 4{,}58^\circ\\ \mathrm{V} \approx 143{,}2 + j\,11{,}47\\ \mathrm{V}

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