(1) Um gerador alimenta uma carga por meio de uma linha e são conhecidas as seguintes informações:
  1. Tensão no gerador 220 \mathrm{Vef}=60 \mathrm{~Hz}
  2. A carga é tipo impedância constante e absorve 10 kW com fator de potência 0,7 indutivo quando alimentada por 200 V
  3. Impedância da linha \mathbf{1 , 2 8} \boldsymbol{+} \mathbf{j 0 , 8} \boldsymbol{\Omega}
  4. Tomar \mathrm{V}_{\text {base }}=200 \mathrm{~V} \mathrm{e} \mathrm{S}_{\text {base }}=10 \mathrm{kVA}
Determine:
d) Tensão na carga após correção do fator de potência

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
  • Dados do enunciado:
    • Tensão do gerador: \,220\\ \mathrm{V_{ef}},\\\ 60\\ \mathrm{Hz}.
    • A carga é do tipo impedância constante e, quando alimentada por \,200\\ \mathrm{V}, absorve P=10\\ \mathrm{kW} com fator de potência \mathrm{pf}=0{,}7 indutivo.
    • Impedância da linha: \,Z_{\ell}=1{,}28 + j0{,}8\\ \Omega.
    • Bases: \,V_{\mathrm{base}}=200\\ \mathrm{V} e \,S_{\mathrm{base}}=10\\ \mathrm{kVA}.
  • O que se pede na letra (d):
    • Determinar a tensão na carga APÓS a correção do fator de potência.
      (Interpreto “correção do fator de potência” como a colocação de um capacitor em paralelo na altura da carga de forma que o fator de potência visto pela fonte fique unitário.)

Passo 2

Primeiro vamos calcular a impedância da carga (ela é const. de impedância): transformar a informação “absorve 10\\ \mathrm{kW} a 200\\ \mathrm{V} com \mathrm{pf}=0{,}7 indutivo” em S, Q e em seguida em Z_{\text{carga}}.
  • Relembrando/ensinando: para cargas elétricas (monofásicas) usa-se a relação complexa de potência
    S = P + jQ = V I^*,
    onde V e I são fasores RMS e I^* é o conjugado de I. A partir disso, para uma carga puramente de impedância (Z constante) vale a fórmula
    Z_{\text{carga}}=\frac{V^2}{S^*}.
    Explico por que: de S=V I^* temos I^*=S/V e, invertendo, I=S^*/V. Como Z=V/I segue Z=V/(S^*/V)=V^2/S^*.
  • Calcular Q a partir de P e \mathrm{pf}:
    \cos\varphi=\mathrm{pf}=0{,}7\quad\Rightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}7).
    A parte reativa é
    Q = P\tan\varphi = 10000\cdot\tan(\operatorname{arccos}(0{,}7)).
    Calculando numericamente:
    \tan(\operatorname{arccos}(0{,}7))\approx 1{,}020253\quad\Rightarrow\quad Q\approx 10000\cdot1{,}020253=10202{,}5\\ \mathrm{var}.
  • Assim a potência complexa (quando a carga é alimentada por \,200\\ \mathrm{V}) é
    S = 10000 + j10202{,}5\\ \mathrm{VA}.
  • Agora a impedância da carga (usando V_{\text{carga}}=200\\ \mathrm{V}):
    Z_{\text{carga}}=\frac{200^2}{(10000 + j10202{,}5)^*}=\frac{40000}{10000 - j10202{,}5}.
    Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
    Z_{\text{carga}}=\frac{40000(10000 + j10202{,}5)}{10000^2 + 10202{,}5^2}.
    Fazendo as contas (aproximações numéricas):
    Z_{\text{carga}}\approx 1{,}96 + j2{,}00\\ \Omega.
    Comentário: como a carga é do tipo impedância constante, este Z_{\text{carga}} vale para qualquer tensão RMS aplicada — não só para 200\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Usamos as bases fornecidas para trabalhar também em pu (é prático e pedido no enunciado). Primeiro calculamos a impedância base:
  • Fórmula da impedância base:
    Z_{\mathrm{base}}=\frac{V_{\mathrm{base}}^2}{S_{\mathrm{base}}}=\frac{200^2}{10000}=4\\ \Omega.
  • Convertemos impedâncias para per unit (pu):
    Z_{\ell,\mathrm{pu}}=\frac{1{,}28 + j0{,}8}{4}=0{,}32 + j0{,}20\\ \text{pu},
Z_{\text{carga},\mathrm{pu}}=\frac{1{,}96 + j2{,}00}{4}=0{,}49 + j0{,}50\\ \text{pu}.
  • Tensão do gerador em pu: V_{g,\mathrm{pu}}=\frac{220}{200}=1{,}10\\ \text{pu}.
Vou alternar entre pu e unidades físicas quando for conveniente — no final volto a volts.

Passo 4

Modelo do circuito e condição de correção do fator de potência:
  • Circuito: gerador (tensão V_g) — impedância da linha Z_{\ell} — na barra da carga temos a impedância da carga Z_{\text{carga}} em paralelo com o capacitor de correção Z_C=-jX_C.
  • Admittâncias (explicando): se Z=R+jX então a admitância Y=1/Z=G-jB quando X>0 (indutivo). Para o capacitor, a admitância é puramente imaginária e positiva: Y_C=jB_C com B_C=1/X_C.
  • Admitância da carga (valores em S):
    Y_{\text{carga}}=\frac{1}{Z_{\text{carga}}}=\frac{1}{1{,}96 + j2{,}00}\approx 0{,}2499 - j0{,}2551\\ \mathrm{S}.
    (a parte real é G e a parte imaginária negativa é -B_{\text{carga}}.)
  • Admitância total vista na barra da carga depois da correção:
    Y_t = Y_{\text{carga}} + Y_C = 0{,}2499 - j0{,}2551 + jB_C = 0{,}2499 + j(B_C-0{,}2551).
    Defina B_t := B_C-0{,}2551 para simplificar, então Y_t=0{,}2499 + jB_t.
  • Relação entre V_g e V_{\text{carga}} (ensino rápido): a corrente que sai da fonte é a mesma que atravessa a linha e entra na admitância total Y_t. Então
    I_{\ell} = Y_t V_{\text{carga}}
    e também
    I_{\ell}=\frac{V_g-V_{\text{carga}}}{Z_{\ell}}.
    Igualando e isolando V_{\text{carga}} obtemos
    (Z_{\ell}Y_t + 1)\,V_{\text{carga}} = V_g \quad\Rightarrow\quad V_{\text{carga}}=\frac{V_g}{1+Z_{\ell}Y_t}.
  • Condição de fator de potência unitário visto pela fonte: a corrente da linha I_{\ell} deve ser puramente real (em fase com V_g, assumido referência em 0^\circ). Isso equivale a exigir
    \operatorname{Im}(I_{\ell})=0.
    Uma forma prática (álgebra) de impor isso é exigir que a impedância equivalente vista pela fonte
    Z_{\mathrm{eq}} = Z_{\ell} + \frac{1}{Y_t}
    seja puramente real, ou seja \operatorname{Im}(Z_{\mathrm{eq}})=0. Isso leva a uma equação para B_t (que depende de B_C) que podemos resolver.

Passo 5

Montagem e solução algebraica (chegamos a uma equação em B_t):
  • Escrevendo 1/Y_t para Y_t=G + jB_t:
    \frac{1}{Y_t}=\frac{G - jB_t}{G^2 + B_t^2}.
    A parte imaginária de Z_{\mathrm{eq}}=Z_{\ell} + 1/Y_t é
    \operatorname{Im}(Z_{\mathrm{eq}})=X_{\ell} - \frac{B_t}{G^2 + B_t^2}.
    Impor \operatorname{Im}(Z_{\mathrm{eq}})=0
    \frac{B_t}{G^2 + B_t^2}=X_{\ell}.
  • Substituindo os valores numéricos (em unidades SI, usando os G e X_{\ell} calculados mais acima):
    G\approx 0{,}2499,\qquad X_{\ell}=0{,}8.
    A equação fica
    0{,}8\,B_t^2 - B_t + 0{,}8\,G^2 = 0.
    Calculando 0{,}8 G^2\approx 0{,}04996, obtemos a equação quadrática
    0{,}8B_t^2 - B_t + 0{,}04996 = 0.
  • Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara) obtemos duas soluções:
    B_t \approx 1{,}1979\quad\text{ou}\quad B_t\approx 0{,}05213.
  • Agora recuperamos B_C = B_t + 0{,}2551 (porque B_t = B_C - B_{\text{carga}} e B_{\text{carga}}\approx 0{,}2551):
    • Para B_t\approx 1{,}1979: B_C\approx 1{,}4530\\ \mathrm{S} (capacitor muito grande).
    • Para B_t\approx 0{,}05213: B_C\approx 0{,}30723\\ \mathrm{S} (capacitância mais moderada).
  • Qual escolher? As duas soluções matemáticas tornam a corrente da fonte puramente real, mas fisicamente a solução mais plausível é a que exige um capacitor de tamanho razoável (não excessivo). A solução com B_C\approx 1{,}4530\\ \mathrm{S} corresponderia a um capacitor extremamente grande (suscetância muito alta) e resultaria em uma tensão na carga muito baixa — não é a correção usual. Portanto adotamos a solução menor:
    B_C \approx 0{,}30723\\ \mathrm{S}.

Passo 6

Cálculo da tensão na carga com esse capacitor (usar V_{\text{carga}}=V_g/(1+Z_{\ell}Y_t)):
  • Primeiro calcule Y_t com B_t\approx 0{,}05213:
    Y_t = 0{,}2499 + j0{,}05213\\ \mathrm{S}.
  • Calcule 1+Z_{\ell}Y_t (fazendo a multiplicação complexa):
    Z_{\ell}Y_t = (1{,}28 + j0{,}8)(0{,}2499 + j0{,}05213).
    Multiplicando:
    Z_{\ell}Y_t \approx 0{,}27817 + j0{,}26665.
    Então
    1+Z_{\ell}Y_t \approx 1{,}27817 + j0{,}26665.
  • Logo
    V_{\text{carga}}=\frac{V_g}{1+Z_{\ell}Y_t}=\frac{220\angle 0^\circ}{1{,}27817 + j0{,}26665}.
    Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtemos o fasor
    V_{\text{carga}}\approx 165{,}0 - j34{,}44\\ \mathrm{V}.
  • A magnitude (tensão RMS) é
    |V_{\text{carga}}|=\sqrt{165{,}0^2 + (-34{,}44)^2}\approx 168{,}6\\ \mathrm{V}.
    (o ângulo do fasor é \approx -11{,}9^\circ, se for útil.)

Passo 7

Interpretação final e observação prática:
  • Após a correção do fator de potência (com o capacitor escolhido para que a corrente da fonte fique em fase com a tensão), a tensão na carga passou a ser cerca de \,168{,}6\\ \mathrm{V} (RMS).
  • Nota importante (didática): embora a correção reduza a corrente reativa vista pela fonte, a tensão na carga depende da divisão de tensão entre a linha e a carga (e da admitância total na barra). Como a carga é do tipo impedância constante, sua impedância não muda com a correção; contudo o acréscimo de admitância capacitiva altera a corrente e, por consequência, a queda de tensão na linha — por isso a tensão na carga mudou e não voltou a 200\\ \mathrm{V}.

Resposta

\,168{,}6\\ \mathrm{V}

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