(1) Um gerador alimenta uma carga por meio de uma linha e são conhecidas as seguintes informações:
  1. Tensão no gerador 220 \mathrm{Vef}=60 \mathrm{~Hz}
  2. A carga é tipo impedância constante e absorve 10 kW com fator de potência 0,7 indutivo quando alimentada por 200 V
  3. Impedância da linha \mathbf{1 , 2 8} \boldsymbol{+} \mathbf{j 0 , 8} \boldsymbol{\Omega}
  4. Tomar \mathrm{V}_{\text {base }}=200 \mathrm{~V} \mathrm{e} \mathrm{S}_{\text {base }}=10 \mathrm{kVA}
Determine:
b) Potência complexa na carga e no gerador

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Tensão no gerador: 220\\ \mathrm{V_{ef}} (60 Hz).
    • A carga é de tipo impedância constante e, quando alimentada por 200\\ \mathrm{V}, absorve 10\\ \mathrm{kW} com fator de potência 0{,}7 indutivo.
    • Impedância da linha: Z_{\ell}=1{,}28+j0{,}8\\ \Omega.
    • Bases: V_{\text{base}}=200\\ \mathrm{V} e S_{\text{base}}=10\\ \mathrm{kVA} (esses bases são informados; vou trabalhar em unidades SI e mostrar como usá-las se necessário).
  • O que a questão pede (parte b):
    • Determinar a potência complexa (isto é, S=P+jQ) na carga e a potência complexa fornecida pelo gerador.

Passo 2

Calcular a potência complexa da carga quando ela está com 200\\ \mathrm{V} (essa é a informação que nos permite achar a impedância da carga).
Explicação rápida do conceito:
  • Potência complexa é \displaystyle S = P + jQ, onde P é potência ativa (W) e Q é potência reativa (VAR). Para carga indutiva Q>0.
  • Fator de potência \mathrm{pf}=\cos\varphi, então o ângulo de fase da potência é \varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}).
  • Relação entre P e Q: \displaystyle Q = P\tan\varphi.
Aplicando ao caso:
  • P_{\text{(na cond)}} = 10\\ \mathrm{kW} = 10000\\ \mathrm{W}.
  • \mathrm{pf}=0{,}7 (indutivo) \Rightarrow \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}7).
  • Calculemos \tan\varphi usando \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-0{,}7^2}=\sqrt{0{,}51}, então \tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{0{,}51}}{0{,}7}\approx1{,}02025.
  • Assim Q_{\text{nom}}=P\cdot\tan\varphi=10000\cdot1{,}02025\approx10202{,}5\\ \mathrm{VAR}.
  • Logo a potência complexa nominal (quando a carga tem 200\\ \mathrm{V}) é S_{\text{nom}}=P+jQ=10000+j10202{,}5\\ \mathrm{VA}.(ou em módulo \lvert S\rvert=P/\mathrm{pf}=10000/0{,}7\approx14285{,}7\\ \mathrm{VA} e ângulo \varphi\approx45{,}573^\circ.)

Passo 3

Determinar a impedância da carga a partir de S_{\text{nom}} e da tensão nominal 200\\ \mathrm{V}.
Teoria curta:
  • Para um circuito monofásico, S=V I^*. Daí I=S^*/V^*. A impedância é Z=\dfrac{V}{I}=\dfrac{V}{S^*/V^*}=\dfrac{|V|^2}{S^*}. Usamos a conjugada de S porque a corrente envolve S^*.
Cálculo:
  • V_{\text{nom}}=200\\ \mathrm{V}. Logo Z_{\text{carga}}=\frac{V_{\text{nom}}^2}{S_{\text{nom}}^*} =\frac{200^2}{10000 - j10202{,}5} =\frac{40000}{10000 - j10202{,}5}\\ \Omega.
  • Faço a divisão (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado): Z_{\text{carga}}=\frac{40000(10000+j10202{,}5)}{10000^2+10202{,}5^2}.Calculando os termos numéricos: 10000^2+10202{,}5^2=100000000+104091006{,}25=204091006{,}25.
40000\cdot10000=400000000,\qquad 40000\cdot10202{,}5=408100000.
Z_{\text{carga}}\approx\frac{400000000+j408100000}{204091006{,}25}\approx1{,}9598+j1{,}9998\\ \Omega.
  • Arredondando de forma prática: Z_{\text{carga}}\approx1{,}96 + j2{,}00\\ \Omega.

Passo 4

Montar o circuito série e encontrar a impedância total vista pelo gerador.
  • Impedância da linha: Z_{\ell}=1{,}28+j0{,}8\\ \Omega.
  • Impedância da carga: Z_{\text{carga}}\approx1{,}9598+j1{,}9998\\ \Omega.
  • Impedância total: Z_{\text{tot}}=Z_{\ell}+Z_{\text{carga}}=(1{,}28+1{,}9598)+j(0{,}8+1{,}9998) \approx3{,}2398 + j2{,}7998\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente de linha I usando a tensão do gerador.
  • Fórmula: \displaystyle I=\frac{V_g}{Z_{\text{tot}}}. Tomamos referência de fase tal que V_g=220\angle0^\circ.
  • Computando a divisão complexa: I=\frac{220}{3{,}2398 + j2{,}7998} =220\cdot\frac{3{,}2398 - j2{,}7998}{3{,}2398^2+2{,}7998^2}.Cálculos intermediários: 3{,}2398^2+2{,}7998^2\approx18{,}3368.
220\cdot(3{,}2398)=712{,}756,\qquad 220\cdot(2{,}7998)=615{,}956.
I\approx\frac{712{,}756 - j615{,}956}{18{,}3368}\approx38{,}880 - j33{,}600\\ \mathrm{A}.
  • Magnitude e ângulo (útil para interpretação): |I|\approx51{,}39\\ \mathrm{A},\qquad \angle I\approx-40{,}35^\circ.(o sinal negativo no ângulo significa que a corrente atrasa a tensão de gerador, típico de carga indutiva líquida.)

Passo 6

Calcular a tensão real na carga V_{\text{carga}} e a potência complexa consumida pela carga com a corrente real.
  • Tensões em série: V_{\text{carga}}=I\cdot Z_{\text{carga}}.
    Multiplicando: V_{\text{carga}}=(38{,}880 - j33{,}600)\,(1{,}9598 + j1{,}9998) \approx143{,}386 + j11{,}786\\ \mathrm{V}.Módulo: |V_{\text{carga}}|\approx143{,}86\\ \mathrm{V}.(Observe: a carga foi dimensionada para 200 V, mas por queda de tensão na linha, ela recebe ~143,9 V e por isso o consumo muda.)
  • Potência complexa na carga: S_{\text{carga}}=V_{\text{carga}}\;I^*.Aqui I^*=38{,}880 + j33{,}600. Fazendo a multiplicação (produto complexo): S_{\text{carga}}\approx5178{,}8 + j5276{,}0\\ \mathrm{VA}.Ou seja, potência ativa P_{\text{carga}}\approx5178{,}8\\ \mathrm{W} e reativa Q_{\text{carga}}\approx5276{,}0\\ \mathrm{VAR}.

Passo 7

Calcular a potência complexa fornecida pelo gerador.
  • Fórmula direta: S_{\text{gerador}}=V_g\;I^*.Com V_g=220\angle0^\circ e I^*=38{,}880 + j33{,}600, S_{\text{gerador}}=220(38{,}880 + j33{,}600)\approx8553{,}6 + j7392{,}0\\ \mathrm{VA}.Ou seja, o gerador entrega P_{\text{gerador}}\approx8553{,}6\\ \mathrm{W} e Q_{\text{gerador}}\approx7392{,}0\\ \mathrm{VAR}.

Passo 8

Verificação rápida (balanço de potências): a diferença entre o que o gerador fornece e o que a carga consome é a perda na linha.
  • S_{\ell}=S_{\text{gerador}}-S_{\text{carga}}\approx(8553{,}6-5178{,}8)+j(7392{,}0-5276{,}0) S_{\ell}\approx3374{,}8 + j2116{,}0\\ \mathrm{VA},e a perda ativa na linha \approx3375\\ \mathrm{W} confere com I^2R\approx(51{,}39^2)\cdot1{,}28\approx3380\\ \mathrm{W} (diferença pequena por arredondamentos), portanto o resultado é consistente.

Resposta

S_{\text{carga}}\approx5178{,}8 + j5276{,}0\\ \mathrm{VA}\n
S_{\text{gerador}}\approx8553{,}6 + j7392{,}0\\ \mathrm{VA}

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