1. Um gerador (sequência positiva) alimenta uma carga trifásica equilibrada. Gerador e carga estão conectados por uma linha de distribuição com impedância 3+j 4 \Omega / \varphi. Se a carga demanda 1125 k var a um fator de potência atrasado de 0,866 e a tensão nos seus terminais é 13 kV , use o circuito equivalente da fase a, tomando a tensão da carga nessa fase como a referência, para determinar a tensão \bar{V}_{a b} no gerador, a potência complexa eo fator de potência do gerador. Se a carga está conectada em Δ, calcule a corrente pela carga entre as fases B e C. (Valor 3,8)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei a tensão da fase a da carga como referência, como pediu).
Dados extraídos do enunciado:
  • Impedância da linha por fase: \displaystyle Z_{\text{linha}}=3+j4\\ \Omega/\varphi.
  • Carga trifásica equilibrada, conectada em Δ.
  • A carga demanda \displaystyle Q_{\text{carga}}=1125\\ \text{kVAr} (reativa) a fator de potência atrasado \displaystyle \text{fp}=0{,}866 (ou seja, corrente defasada em relação à tensão).
  • Tensão nos terminais da carga (tensão de linha, para Δ): \displaystyle V_{LL,\text{carga}}=13\\ \text{kV}.
  • Escolha de referência: tomar a tensão de fase a da carga como referência (isto implica \displaystyle V_{aN,\text{carga}}=V_{\text{ph}}= \dfrac{V_{LL}}{\sqrt{3}} com ângulo 0^\circ).
O enunciado pede:
  1. A tensão no gerador \displaystyle \bar{V}_{ab} (fasor entre as fases a e b no gerador).
  2. A potência complexa do gerador (ou seja, \displaystyle S_{\text{ger}} em forma P+jQ).
  3. O fator de potência do gerador.
  4. Se a carga está em Δ, calcular a corrente pela carga entre as fases B e C (ou seja, a corrente da ramificação BC do delta).

Passo 2

Vamos determinar primeiro a potência aparente total da carga e suas componentes ativa e reativa.
Fórmulas e conceitos usados (explicando cada símbolo):
  • \displaystyle \text{fp}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de defasagem entre tensão e corrente (positivo para atraso).
  • Relação entre potência aparente \displaystyle S, potência ativa \displaystyle P e reativa \displaystyle Q: S = P + jQ,\qquad |S| = \sqrt{P^{2}+Q^{2}},\qquad Q = |S|\sin\varphi,\\ P=|S|\cos\varphi.
Dado \displaystyle \text{fp}=0{,}866, temos \displaystyle \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}866)=30^\circ.
Como foi dado \displaystyle Q_{\text{carga}}=1125\\ \text{kVAr} e \sin\varphi=\sin30^\circ=0{,}5, calculamos o módulo da potência aparente total:
|S_{\text{carga}}|=\frac{Q_{\text{carga}}}{\sin\varphi}=\frac{1125}{0{,}5}=2250\\ \text{kVA}.
A potência ativa total:
P_{\text{carga}}=|S_{\text{carga}}|\cos\varphi=2250\times0{,}866=1948{,}5\\ \text{kW}.
Confirmando: S_{\text{carga}}=2250\angle 30^\circ\\ \text{kVA} (ângulo positivo em S significa reativo indutivo).

Passo 3

Passo para trabalhar por fase (carga equilibrada e Δ).
Para uma carga trifásica equilibrada:
  • A potência aparente por fase (por ramo do delta) é \displaystyle S_{\varphi}=\dfrac{|S_{\text{carga}}|}{3}=\dfrac{2250}{3}=750\\ \text{kVA}.
  • Em Δ, cada ramo (por exemplo o ramo BC) é submetido à tensão de linha \displaystyle V_{LL}=13\\ \text{kV}.
A corrente na ramificação BC (corrente de ramo do delta) tem módulo:
|I_{BC}|=\frac{S_{\varphi}}{V_{LL}}=\frac{750\;000}{13\;000}=57{,}6923077\\ \text{A}\approx57{,}69\\ \text{A}.
A corrente de ramo tem ângulo relativo à tensão do ramo igual a -\varphi (atrasada por \varphi=30^\circ), portanto o fasor da corrente do ramo BC será |I_{BC}|\angle(-\varphi) quando a tensão de ramo for usada como referência. Porém estamos usando como referência a tensão de fase a ( V_{aN}), então precisamos expressar o ângulo de I_{BC} nessa referência — faremos isso no Passo 7.
Também é útil obter a corrente de linha (corrente que circula na fase da linha): para delta, a relação entre corrente de linha e corrente de ramo é |I_{\text{linha}}|=\sqrt{3}\,|I_{\text{ramo}}|. Assim
|I_{\text{linha}}|=\sqrt{3}\times57{,}6923077=100\\ \text{A} \quad(\text{exatamente, por cancelamentos numéricos}).é
O ângulo da corrente de linha (por convenção com V_{a} referência) será -\varphi=-30^\circ. Logo podemos usar
\bar{I}_{a}=100\angle(-30^\circ)\\ \text{A}
para a corrente de fase (linha) a.

Passo 4

Vamos montar o equivalente por fase usando a conversão Δ→Y para facilitar: transformação Δ para Y diz que a impedância de cada ramo em Y é um terço da impedância do ramo Δ:
Z_{\Delta}=\frac{V_{LL}}{I_{\text{ramo}}} \quad\Rightarrow\quad Z_{Y}=\frac{Z_{\Delta}}{3}.
Calculando Z_{\Delta} (impedância do ramo do delta):
Z_{\Delta}=\frac{13\;000}{57{,}6923077}\angle(0^\circ-(-30^\circ))=225{,}464\angle30^\circ\\ \Omega.
Observe a razão do ângulo: a tensão de ramo (por exemplo V_{BC}) tem um ângulo determinado pela referência V_a; o importante aqui é que a impedância do ramo tem ângulo +30^\circ porque a corrente atrasa 30^\circ.
Dividindo por 3:
Z_{Y}=\frac{Z_{\Delta}}{3}=75{,}1547\angle30^\circ\\ \Omega,
ou em forma retangular (útil depois):
Z_{Y}=65{,}0 + j37{,}577\\ \Omega\quad(\text{aprox.}).
Agora o circuito por fase, da carga à máquina, fica: tensão da carga por fase V_{aN,\text{carga}}=V_{\text{ph}}=\dfrac{13\;000}{\sqrt{3}}=7500\\ \text{V} (tomada como referência, ângulo 0^\circ), em série com Z_{\text{linha}}=3+j4, e depois o gerador. A corrente de linha por fase (calculada) é \bar{I}_{a}=100\angle(-30^\circ)\\ \text{A}.

Passo 5

Calcular a tensão no gerador por fase \bar{V}_{a,\text{ger}} (fase a para o neutro fictício) somando a tensão da carga por fase e a queda de tensão na linha:
\bar{V}_{a,\text{ger}}=\bar{V}_{a,\text{carga}}+\bar{I}_{a}\,Z_{\text{linha}}.
Substituindo:
\bar{V}_{a,\text{carga}}=7500\angle 0^\circ\\ \text{V},\qquad \bar{I}_{a}=100\angle(-30^\circ)\\ \text{A},\qquad Z_{\text{linha}}=3+j4=5\angle53{,}130^\circ\\ \Omega.
Calculemos a queda de tensão na linha:
\bar{I}_{a}Z_{\text{linha}}=100\angle(-30^\circ)\times5\angle53{,}130^\circ=500\angle23{,}130^\circ\\ \text{V}.
Forma retangular dessa queda:
500\angle23{,}130^\circ=460{,}25 + j195{,}37\\ \text{V}\\ (\text{aprox.}).
Somando à tensão da carga por fase:
\bar{V}_{a,\text{ger}}=(7500+460{,}25) + j(0+195{,}37)=7960{,}25 + j195{,}37\\ \text{V}.
Magnitude e ângulo:
|\bar{V}_{a,\text{ger}}|=\sqrt{7960{,}25^{2}+195{,}37^{2}}\approx7962{,}55\\ \text{V}, \qquad \angle \bar{V}_{a,\text{ger}}\approx1{,}406^\circ.
Agora a tensão de linha do gerador entre a e b é dada pela relação (para sistema trifásico equilibrado):
\bar{V}_{ab,\text{ger}}=\sqrt{3}\;|\bar{V}_{a,\text{ger}}|\angle\big(\angle\bar{V}_{a,\text{ger}}+30^\circ\big).
Portanto:
|\bar{V}_{ab,\text{ger}}|=\sqrt{3}\times7962{,}55\approx13{,}786{,}2\\ \text{V}=13{,}786\\ \text{kV},
\angle\bar{V}_{ab,\text{ger}}=1{,}406^\circ+30^\circ=31{,}406^\circ.
Logo, em forma fasorial:
\displaystyle \bar{V}_{ab,\text{ger}}\approx13{,}79\\ \text{kV}\angle31{,}41^\circ.

Passo 6

Calcular a potência complexa do gerador. Usamos a expressão por fase e multiplicamos por 3:
S_{\text{ger}}=3\,\bar{V}_{a,\text{ger}}\,\bar{I}_{a}^{*}.
É mais simples fisicamente usar balanço de potências: a potência no gerador é a potência consumida pela carga mais as perdas na linha. As perdas ativas e reativas na linha (três fases) são:
P_{\text{perda}}=3 I^{2} R_{\text{linha}}=3\times100^{2}\times3=90{,}0\\ \text{kW},
Q_{\text{perda}}=3 I^{2} X_{\text{linha}}=3\times100^{2}\times4=120{,}0\\ \text{kVAr}.
Assim:
P_{\text{ger}}=P_{\text{carga}}+P_{\text{perda}}=1948{,}5+90{,}0=2038{,}5\\ \text{kW},
Q_{\text{ger}}=Q_{\text{carga}}+Q_{\text{perda}}=1125+120=1245\\ \text{kVAr}.
Portanto a potência complexa do gerador é
\displaystyle S_{\text{ger}}=2038{,}5 + j1245\\ \text{kVA}.
O módulo:
|S_{\text{ger}}|=\sqrt{2038{,}5^{2}+1245^{2}}\approx2388{,}66\\ \text{kVA}.
O fator de potência do gerador é
\text{fp}_{\text{ger}}=\frac{P_{\text{ger}}}{|S_{\text{ger}}|}=\frac{2038{,}5}{2388{,}66}\approx0{,}8537\\ (\text{atrasado}).

Passo 7

Calcular a corrente pela ramificação BC do delta (usando a referência \displaystyle V_{aN,\text{carga}}=7500\angle0^\circ).
As tensões de linha (com V_{a}=7500\angle0^\circ) são:
\bar{V}_{ab}=13\;000\angle30^\circ,\qquad \bar{V}_{bc}=13\;000\angle(-90^\circ),\qquad \bar{V}_{ca}=13\;000\angle150^\circ.
A impedância do ramo do delta (já calculada) é \displaystyle Z_{\Delta}=225{,}464\angle30^\circ\\ \Omega.
Assim a corrente no ramo BC é:
\bar{I}_{BC}=\frac{\bar{V}_{bc}}{Z_{\Delta}} =\frac{13\;000\angle(-90^\circ)}{225{,}464\angle30^\circ} =57{,}692\angle(-120^\circ)\\ \text{A}.
Portanto a corrente entre as fases B e C tem módulo aproximadamente 57{,}69\\ \text{A} e ângulo -120^\circ quando a tensão de fase a da carga é tomada como referência.

Resposta

\displaystyle \bar{V}_{ab,\text{ger}}\approx13{,}79\\ \text{kV}\angle31{,}41^\circ
\displaystyle S_{\text{ger}}=2038{,}5 + j1245\\ \text{kVA}
\displaystyle \text{fp}_{\text{ger}}\approx0{,}8537\\ \text{(atrasado)}
\displaystyle \bar{I}_{BC}=57{,}69\angle(-120^\circ)\\ \text{A}

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