1 - Um cabo coaxial é usado para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 20 MHz e o cabo coaxial tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=20 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,05 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=250 \mathrm{nH} / \mathrm{m} e C =100 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
a) Se \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=25 \Omega, calcular a percentagem da potência incidente que é refletida na carga;
15%

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: calcular a percentagem da potência incidente que é refletida na carga quando \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=25\\ \Omega.
  • Dados fornecidos:
    • frequência: f=20\\ \mathrm{MHz};
    • parâmetros por metro do cabo:
      • R=0{,}05\\ \Omega/\mathrm{m},
      • L=250\\ \mathrm{nH}/\mathrm{m},
      • G=20\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{m}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m},
      • C=100\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m}=100\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • Informação que vamos usar: a percentagem de potência refletida é 100\%\times |\Gamma|^2, onde \Gamma é o coeficiente de reflexão na carga.

Passo 2

Conceito e fórmulas principais (mini-aula útil para a prova).
  • A impedância característica da linha é dada por
Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}},
onde:
  • R é a resistência por unidade de comprimento ( \Omega/\mathrm{m});
  • L é a indutância por unidade de comprimento (H/m);
  • G é a condutância por unidade de comprimento (S/m);
  • C é a capacitância por unidade de comprimento (F/m);
  • \omega=2\pi f é a frequência angular (rad/s);
  • j é a unidade imaginária.
  • Para linhas de baixa perda (quando R e G são muito pequenos em comparação com \omega L e \omega C), vale a aproximação simples
Z_0\approx\sqrt{\frac{L}{C}},
que é muito prática em provas quando R,G são desprezíveis.
  • O coeficiente de reflexão na carga é
\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0},
e a fração da potência incidente que é refletida é |\Gamma|^2. Para dar em percentagem multiplicamos por 100\%.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega.
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 20\times10^{6}=40\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Numericamente,
\omega\approx 125{,}663706\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular os termos R+j\omega L e G+j\omega C com os números dados.
  • Primeiro \omega L:
\omega L \;=\;125{,}663706\times10^{6}\cdot 250\times10^{-9} \;=\;125{,}663706\times10^{6}\cdot 2{,}5\times10^{-7} \;=\;31{,}415925\\ \Omega/\mathrm{m}.
Logo
R+j\omega L = 0{,}05 + j\,31{,}415925\\ \Omega/\mathrm{m}.
  • Agora \omega C:
\omega C \;=\;125{,}663706\times10^{6}\cdot 100\times10^{-12} \;=\;125{,}663706\times10^{6}\cdot 1\times10^{-10} \;=\;0{,}01256637\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
Logo
G+j\omega C = 20\times10^{-6} + j\,0{,}01256637\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a razão complexa \dfrac{R+j\omega L}{G+j\omega C} e extrair Z_0.
  • Fazendo a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtém-se, após calcular os produtos:
\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}\approx 2500 + j\,0\quad(\text{valor praticamente real}).
(Detalhe: os termos imaginários praticamente se cancelam porque \omega L\cdot \omega C domina e R\cdot G é extremamente pequeno.)
  • Então
Z_0=\sqrt{2500}=50\\ \Omega.
  • Observação prática: usando a aproximação de linha de baixa perda,
Z_0\approx\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{250\times10^{-9}}{100\times10^{-12}}}=\sqrt{2500}=50\\ \Omega,
o que bate exatamente com o cálculo mais completo — sinal de que R e G são desprezíveis aqui.

Passo 6

Calcular o coeficiente de reflexão \Gamma no ponto de carga.
  • Usando \mathrm{Z}_L=25\\ \Omega e Z_0=50\\ \Omega,
\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{25-50}{25+50}=\frac{-25}{75}=-\frac{1}{3}.
  • O módulo é |\Gamma|=\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Converter |\Gamma|^2 em percentagem de potência refletida.
  • Fração da potência refletida:
|\Gamma|^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\approx 0{,}111111\ldots
  • Em percentagem:
100\%\times |\Gamma|^2=100\%\times \frac{1}{9}\approx 11{,}11\%.

Resposta

11{,}11\%

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