4^{\mathrm{a}} QUESTÃO: (5 PONTOS)
A corrente \mathrm{i}=32+26 \cos \left(\mathrm{t}+30^{\circ}\right)+20 \cos \left(2 \mathrm{t}-60^{\circ}\right)+15 \cos \left(3 \mathrm{t}+25^{\circ}\right)+ 10 \cos \left(4 t-10^{\circ}\right)+8 \cos \left(5 t-18^{\circ}\right)+4 \cos \left(6 t+45^{\circ}\right)+2 \cos \left(7 t-15^{\circ}\right) A, circula em um resistor de 12 \Omega. Determine o valor eficaz da corrente e a potêncía média dissipada pelo resistor.

Passo 1

O enunciado dá a corrente que circula no resistor e pede duas coisas. Os dados fornecidos são:
  • Corrente i(t)=32+26\cos\!\bigl(t+30^\circ\bigr)+20\cos\!\bigl(2t-60^\circ\bigr)+15\cos\!\bigl(3t+25^\circ\bigr)+10\cos\!\bigl(4t-10^\circ\bigr)+8\cos\!\bigl(5t-18^\circ\bigr)+4\cos\!\bigl(6t+45^\circ\bigr)+2\cos\!\bigl(7t-15^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.
  • Resistência R=12\\ \Omega.
O que é pedido:
  1. Determinar o valor eficaz (RMS) da corrente, isto é I_{\mathrm{rms}}.
  2. Determinar a potência média dissipada no resistor.

Passo 2

Definição e ideia do método (passo conceitual, sem ainda calcular):
  • O valor eficaz (RMS) de uma corrente periódica i(t) é definido por
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} i^2(t)\,dt},
onde T é o período da corrente. Na prática, quando i(t) é soma de uma componente contínua (DC) e várias harmônicas senoidais de frequências diferentes, a média do quadrado separa-se em soma das contribuições individuais, porque os termos mistos (produtos entre componentes de frequências diferentes) têm média zero ao longo de um período comum. Em linguagem simples: senóides de frequências distintas são “ortogonais” e seus produtos têm média nula.
  • Para uma senóide \displaystyle A\cos(\omega t+\varphi) a contribuição ao quadrado médio é
\frac{1}{T}\int_0^T A^2\cos^2(\omega t+\varphi)\,dt=\frac{A^2}{2},
porque a média de \cos^2 é 1/2.
  • Uma componente DC constante I_0 contribui com I_0^2 para o quadrado médio.
Portanto, para o caso dado vale a fórmula prática
I_{\mathrm{rms}}^2 = I_{\mathrm{DC}}^2 + \sum_{k}\frac{A_k^2}{2},
onde I_{\mathrm{DC}} é a parte constante ( 32 A aqui) e A_k são as amplitudes das senóides (os coeficientes das cosenos).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto: identifiquei a parte DC e as amplitudes das senóides na expressão dada.
  • I_{\mathrm{DC}}=32\\ \mathrm{A}.
  • Amplitudes A_k: 26,\\\ 20,\\\ 15,\\\ 10,\\\ 8,\\\ 4,\\\ 2 (essas são as amplitudes dos termos coseno do enunciado).
Escrevendo a soma:
I_{\mathrm{rms}}^2=32^2+\frac{26^2}{2}+\frac{20^2}{2}+\frac{15^2}{2}+\frac{10^2}{2}+\frac{8^2}{2}+\frac{4^2}{2}+\frac{2^2}{2}.

Passo 4

Calcule cada termo separadamente (mostrando as contas):
32^2=1024.
Agora os termos \dfrac{A^2}{2}:
\frac{26^2}{2}=\frac{676}{2}=338,
\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200,
\frac{15^2}{2}=\frac{225}{2}=112,5,
\frac{10^2}{2}=\frac{100}{2}=50,
\frac{8^2}{2}=\frac{64}{2}=32,
\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8,
\frac{2^2}{2}=\frac{4}{2}=2.
Some as contribuições das senóides:
338+200+112,5+50+32+8+2=742,5.

Passo 5

Adicione a contribuição DC:
I_{\mathrm{rms}}^2=1024+742,5=1766,5.
Portanto
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1766,5}\approx 42,03\\ \mathrm{A}.
(Usei que 42^2=1764 para aproximar a raiz; o valor calculado é \approx 42,0297, arredondando para duas casas decimais dá 42,03\\ \mathrm{A}.)

Passo 6

Potência média dissipada no resistor: para resistência R a potência média é
P_{\mathrm{média}}=R\,I_{\mathrm{rms}}^2.é
Como já calculamos I_{\mathrm{rms}}^2=1766,5 e R=12\\ \Omega,
P_{\mathrm{média}}=12\times 1766,5=21198\\ \mathrm{W}.é
Em unidades mais usuais, isso é 21{,}198\\ \mathrm{kW}, que pode ser arredondado para 21{,}20\\ \mathrm{kW} se desejar duas casas decimais.

Resposta

I_{\mathrm{rms}}\approx 42{,}03\\ \mathrm{A}
P_{\mathrm{média}}=21198\\ \mathrm{W}é

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