2 - Uma LT, com Z_{0}=100 \Omega e \gamma=0,005+j 0,2 N p / m em \omega=10^{7} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, tem 40 m de comprimento e alimenta uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=100 \Omega. O gerador na entrada da linha tem tensão de pico de 600 V e uma impedância interna de 200 \Omega.
a) a corrente e a tensão de pico bem como a potência na entrada da linha;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Z_{0}=100\\ \Omega.
    • \gamma=0,005+j\,0,2\\ \mathrm{Np/m} em \omega=10^{7}\\ \mathrm{rad/s}. (Aqui a parte real \alpha=0,005\\ \mathrm{Np/m} é a atenuação por metro.)
    • comprimento da linha l=40\\ \mathrm{m}.
    • carga na extremidade Z_{L}=100\\ \Omega.
    • gerador com tensão de pico V_{g}=600\\ \mathrm{V} e impedância interna Z_{g}=200\\ \Omega (resistiva).
  • O que o enunciado pede:
    • a corrente de pico na entrada da linha;
    • a tensão de pico na entrada da linha;
    • a potência na entrada da linha (entenderei como potência média real entregue à linha na condição senoidal).
Nenhuma outra informação é necessária porque todos os valores relevantes estão dados.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e fórmula): a impedância de entrada de uma linha de transmissão uniforme, de comprimento l, é dada por
Z_{\mathrm{in}} = Z_{0}\,\frac{Z_{L}+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_{0}+Z_{L}\operatorname{tanh}(\gamma l)}.
Isto é uma fórmula padrão de linhas (não precisa decorar cegamente: ela vem da combinação entre a impedância característica Z_0, a carga Z_L e o efeito de multiplicação por \operatorname{tanh}(\gamma l) numa linha de comprimento finito).
Agora, observe um caso especial muito simples e útil na prova: se a carga é igual à impedância característica, isto é Z_{L}=Z_{0}, então a expressão acima simplifica (substituindo Z_L=Z_0) para
Z_{\mathrm{in}} = Z_{0}\,\frac{Z_{0}+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_{0}+Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma l)} = Z_{0}.
Em palavras: quando a linha está “casada” com a carga ( Z_L=Z_0) não há reflexão e a impedância vista na entrada é justamente Z_0, independentemente do comprimento ou da presença de atenuação (ou seja, vale também para linha com perda, desde que a carga seja igual a Z_0).

Passo 3

Aplicando o resultado do passo anterior com os números dados:
Z_{\mathrm{in}}=Z_{0}=100\\ \Omega.
Portanto a linha, vista da fonte, comporta-se como uma resistência de 100\\ \Omega na entrada.

Passo 4

Agora fazemos o circuito equivalente visto pelo gerador: tensão de pico V_{g}=600\\ \mathrm{V} em série com Z_{g}=200\\ \Omega alimentando Z_{\mathrm{in}}=100\\ \Omega. Como todas as impedâncias são puramente resistivas aqui, a corrente de pico é dada pela lei de Ohm (divisor simples):
I_{\mathrm{p}}=\frac{V_{g}}{Z_{g}+Z_{\mathrm{in}}}.
Substituindo os valores:
I_{\mathrm{p}}=\frac{600}{200+100}=\frac{600}{300}=2\\ \mathrm{A}.
Explicação passo a passo: soma-se a resistência interna do gerador e a impedância de entrada para obter a resistência total vista pelo gerador; dividir a tensão de pico por essa resistência dá a corrente de pico.

Passo 5

A tensão de pico na entrada da linha (ou seja, a tensão sobre Z_{\mathrm{in}}) vem do produto corrente × impedância:
V_{\mathrm{p,in}}=I_{\mathrm{p}}\cdot Z_{\mathrm{in}}=2\cdot100=200\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida (divisor de tensão): V_{\mathrm{p,in}}=V_{g}\cdot \dfrac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{g}+Z_{\mathrm{in}}}=600\cdot\dfrac{100}{300}=200\\ \mathrm{V}, consistente.

Passo 6

Potência entregue à linha (interpreto como potência média real entregue à impedância de entrada). Para sinal senoidal, a potência média (real) entregue a uma resistência R pode ser calculada a partir do valor de pico por
P=\frac{V_{\mathrm{p}}^{2}}{2R}=\frac{1}{2}I_{\mathrm{p}}^{2}R,
onde V_{\mathrm{p}} é tensão de pico e I_{\mathrm{p}} é corrente de pico. Usando R=\mathrm{Re}(Z_{\mathrm{in}})=100\\ \Omega e os valores encontrados:
P=\frac{1}{2}I_{\mathrm{p}}^{2}R=\frac{1}{2}\cdot(2)^{2}\cdot100=\frac{1}{2}\cdot4\cdot100=200\\ \mathrm{W}.
Interpretação física curta: 200\\ \mathrm{W} é a potência média que o gerador entrega na borda da linha; parte dessa potência será dissipada ao longo da linha devido à atenuação e parte será entregue (em menor quantidade) à carga final, mas o pedido era justamente a potência na entrada da linha, que é 200\\ \mathrm{W}.

Passo 7

(Comentário adicional didático — checagem) Como curiosidade, por causa da atenuação da linha ( \alpha=0,005\\ \mathrm{Np/m}), a potência que chega à carga será menor: a amplitude da onda decai como e^{-\alpha l}, então a potência decai como e^{-2\alpha l}. Com l=40\\ \mathrm{m},
e^{-2\alpha l}=e^{-2\cdot0,005\cdot40}=e^{-0,4}\approx0,6703,
logo a potência na carga seria aproximadamente 200\cdot0,6703\approx134,1\\ \mathrm{W}. Isso confirma que parte da potência de 200\\ \mathrm{W} é dissipada na linha (cerca de 65,9\\ \mathrm{W} aqui). Isto não era pedido, mas é útil para entender o que acontece depois da entrada.

Resposta

I_{\mathrm{p}}=2\\ \mathrm{A}
V_{\mathrm{p,in}}=200\\ \mathrm{V}
P_{\mathrm{in}}=200\\ \mathrm{W}

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