Um gerador CC shunt de 10 \mathrm{~kW}, 200 \mathrm{~V}, com resistència do enrolamento da armadura de 0,1 \Omega e resisténcia do enrolamento de campo de 200 \Omega, está girando na velocidade nominal de 750 rpm . Calcule a velocidade desta máquina em operação como motor com a mesma tensão nominal.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Informações fornecidas:
  • Potência nominal (saída do gerador): P=10\\ \mathrm{kW}.
  • Tensão nominal: V=200\\ \mathrm{V}.
  • Resistência do enrolamento da armadura: R_a=0{,}1\\ \Omega.
  • Resistência do enrolamento de campo (shunt): R_f=200\\ \Omega.
  • Velocidade do gerador na condição dada: N_g=750\\ \mathrm{rpm}.
O que é pedido:
  • Calcular a velocidade da mesma máquina quando for usada como motor conectada à mesma tensão nominal V=200\\ \mathrm{V}.
Observação importante (usada depois): o enunciado não dá explicitamente o carregamento na condição de motor. Aqui vamos usar a hipótese natural para este tipo de exercício: o motor terá o mesmo torque (ou seja, exigirá a mesma corrente de armadura em módulo) que a máquina apresentava quando funcionava como gerador entregue aos mesmos valores dados — essa hipótese é a usada normalmente em exercícios deste tipo para comparar as condições mútuas. Vou explicitar e justificar esse ponto quando necessário.

Passo 2

Calcular as correntes relevantes quando a máquina opera como gerador (condição inicial).
  1. Corrente do circuito de campo (shunt). A bobina de campo está ligada aos terminais, portanto
I_f=\frac{V}{R_f}.
Substituindo os números:
I_f=\frac{200}{200}=1\\ \mathrm{A}.
  1. Corrente fornecida ao circuito externo (corrente de carga). Se o gerador entrega P=10\\ \mathrm{kW} aos terminais a V=200\\ \mathrm{V}, a corrente fornecida ao circuito externo é
I_L=\frac{P}{V}=\frac{10{,}000}{200}=50\\ \mathrm{A}.
  1. Corrente de armadura na condição de gerador. A armadura fornece tanto a corrente da carga externa quanto a corrente de campo, portanto (sinais de corrente considerados em módulo)
I_a^{(gen)}=I_L+I_f=50+1=51\\ \mathrm{A}.
Expliquei passo a passo como encontrar I_f, I_L e I_a^{(gen)}. Isso é importante porque a queda ôhmica na armadura depende de I_a.

Passo 3

Determinar a fem (força eletromotriz induzida) quando a máquina opera como gerador a N_g=750\\ \mathrm{rpm}.
Relação elétrica básica para máquina de corrente contínua, em regime estacionário:
  • No modo gerador, a tensão terminal V é a fem menos a queda no resistor da armadura com sinal tal que
E^{(gen)}=V + I_a^{(gen)} R_a.
Aqui E^{(gen)} é a fem induzida (proporcional à velocidade e ao fluxo), I_a^{(gen)} é a corrente de armadura e R_a a resistência da armadura.
Calcule a queda ôhmica e a fem:
I_a^{(gen)}R_a = 51 \times 0{,}1 = 5{,}1\\ \mathrm{V},
E^{(gen)}=200 + 5{,}1 = 205{,}1\\ \mathrm{V}.
Comentário didático: a fem induzida numa máquina de CC sem saturação é proporcional à velocidade e ao fluxo magnético por polo; vamos usar essa proporção no próximo passo.

Passo 4

Relação entre fem induzida e velocidade (princípio usado para passar de gerador para motor).
Em máquinas de corrente contínua com fluxo de campo constante, vale a proporcionalidade
E = k\Phi \, \omega,
onde:
  • E é a fem induzida (em volts);
  • k é uma constante da máquina (depende de número de espiras, geometria, etc.);
  • \Phi é o fluxo por polo (proporcional à corrente de campo I_f se não há saturação);
  • \omega é a velocidade angular (rad/s) — para comparação de rpm usaremos proporcionalidade direta entre E e N (rot/min), isto é, para fluxo constante:
\frac{E_1}{E_2}=\frac{N_1}{N_2}.
Como a máquina é a mesma e a corrente de campo permanecerá a mesma quando ligada à mesma tensão (campo shunt), assumimos fluxo \Phi constante ao mudar de gerador para motor. Portanto a velocidade escala com a fem induzida.

Passo 5

Determinar a fem que ocorrerá quando a máquina estiver funcionando como motor, sob a hipótese adotada (mesma corrente de armadura em módulo).
Explicação da hipótese: o torque desenvolvido por um motor de CC é proporcional a \Phi I_a. Se quisermos que o motor entregue o mesmo torque que era exigido na operação como gerador (isto é, a mesma carga mecânica que antes foi acionada pela máquina quando ela era gerador), então a corrente de armadura em módulo será a mesma. Essa é a hipótese padrão neste tipo de exercício para permitir comparação direta. Assim tomamos
I_a^{(mot)} = I_a^{(gen)} = 51\\ \mathrm{A}.
No modo motor a relação entre tensão terminal, fem e queda ôhmica é
E^{(mot)}=V - I_a^{(mot)} R_a,
porque a corrente de armadura causa uma queda que reduz a fem necessária para equilibrar a tensão aplicada.
Calcule:
I_a^{(mot)}R_a = 51 \times 0{,}1 = 5{,}1\\ \mathrm{V},
E^{(mot)}=200 - 5{,}1 = 194{,}9\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Usar a proporcionalidade entre fem e velocidade para achar a velocidade no modo motor.
Como explicado, com fluxo constante:
\frac{E^{(mot)}}{E^{(gen)}}=\frac{N_{mot}}{N_{gen}}.
Assim
N_{mot}=N_{gen}\cdot\frac{E^{(mot)}}{E^{(gen)}}.
Substituindo valores:
N_{mot}=750\cdot\frac{194{,}9}{205{,}1}.
Agora calculo numérico:
\frac{194{,}9}{205{,}1}\approx0{,}95025,
N_{mot}\approx750\times0{,}95025\approx712{,}7\\ \mathrm{rpm}.
Arredondamento prático: N_{mot}\approx713\\ \mathrm{rpm}.

Resposta

N_{mot}\approx712{,}7\\ \mathrm{rpm}\approx713\\ \mathrm{rpm}

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