Um gerador síncrono, ligação estrela, de 1000 \mathrm{kVA}, 4600 \mathrm{~V} (linha), tem uma resistência de armadura de 2 \Omega por fase e uma reatância de armadura síncrona de 20 \Omega por fase. Determine:
a) A tensão gerada por fase, a plena carga para o fator de potência unitário;
b) A regulação de tensão para o fator de potência unitário;
c) A regulação de tensão para o fator de potência 0,75 atrasado.
\text { a) } E_{g}=3840,67 \angle 40,81^{\circ} V / \text { fase; b) } R V=44,61 \% ; \text { c) } R V=81,49 \% \text {; }

Passo 1

O enunciado dá um gerador síncrono ligado em estrela, com os seguintes dados relevantes:
  • Potência aparente nominal: 1000\\ \mathrm{kVA} (sistema trifásico).
  • Tensão de linha nominal: 4600\\ \mathrm{V}.
  • Resistência de armadura por fase: R=2\\ \Omega.
  • Reatância síncrona por fase: X_s=20\\ \Omega.
  • Pedido:
    a) Determinar a tensão gerada por fase (E_g) à plena carga para fator de potência unitário.
    b) Determinar a regulação de tensão para fator de potência unitário.
    c) Determinar a regulação de tensão para fator de potência 0{,}75 atrasado.
    Observação importante: vamos trabalhar por fase (tensão fase-neutro) porque os dados de impedância são por fase. A tensão de linha dada será convertida para tensão por fase.

Passo 2

Converter a tensão de linha para tensão por fase (fase-neutro). A relação em ligação estrela é
V_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}.
Substituindo V_{\text{linha}}=4600\\ \mathrm{V},
V_{\text{fase}}=\frac{4600}{\sqrt{3}}=2656{,}854249\\ \mathrm{V}\approx 2656{,}85\\ \mathrm{V}.
Esse valor será a tensão terminal por fase V_t (escolhemos V_t como referência de fase, ângulo 0^\circ).

Passo 3

Calcular a corrente por fase em plena carga. A potência aparente por fase é
S_{\text{fase}}=\frac{1000\\\ 000}{3}=333333{,}333\\ \mathrm{VA}.
A magnitude da corrente por fase é dada por
I=\frac{S_{\text{fase}}}{V_{\text{fase}}}.
Substituindo,
I=\frac{333333{,}333}{2656{,}854249}=125{,}530934\\ \mathrm{A}\approx 125{,}531\\ \mathrm{A}.
O ângulo da corrente depende do fator de potência do carregamento (vamos usar isso nos próximos passos).

Passo 4

Lembrando a fórmula de circuito por fase do gerador síncrono (convenção usual):
E_g = V_t + I_a \, (R + jX_s),
onde
  • E_g é a fem interna por fase (phasor),
  • V_t é a tensão terminal por fase (phasor),
  • I_a é a corrente de armadura por fase (phasor),
  • R e X_s são resistência e reatância síncrona por fase.
    Vamos aplicar essa fórmula para cada caso de fator de potência.

Passo 5

Caso (a): fator de potência unitário. Para \text{pf}=1 a corrente está em fase com a tensão terminal, então tomamos
I_a = I\angle 0^\circ = 125{,}530934\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
O produto I_a (R+jX_s) é
I_a (R+jX_s)=125{,}530934\cdot(2+j20)=251{,}061868 + j\,2510{,}61868\\ \mathrm{V}.
Somando com V_t=2656{,}854249\angle 0^\circ = 2656{,}854249 + j0,
E_g = (2656{,}854249+251{,}061868) + j\,2510{,}61868 = 2907{,}916117 + j\,2510{,}61868.

Passo 6

Calcular magnitude e ângulo de E_g do caso (a). Magnitude:
|E_g|=\sqrt{2907{,}916117^2+2510{,}61868^2}=3840{,}671\\ \mathrm{V}\approx 3840{,}67\\ \mathrm{V}.
Ângulo:
\angle E_g=\arctan\!\left(\frac{2510{,}61868}{2907{,}916117}\right)=40{,}8137^\circ\approx 40{,}81^\circ.
Portanto, para plena carga e \text{pf}=1,
E_g=3840{,}67\angle 40{,}81^\circ\\ \mathrm{V\\ por\\ fase}.

Passo 7

Definição de regulação de tensão que vamos usar: é a variação percentual da tensão terminal quando a carga é retirada mantendo-se a excitação (campo) constante. Assim
\text{Regulação de tensão (}\%\text{)}=\frac{|E_g|-|V_t|}{|V_t|}\times 100\%.çãã
Aqui |E_g| é a fem interna calculada sob carga (que corresponde ao valor que permanecerá com a carga removida se a excitação for mantida), e |V_t| é a tensão terminal nominal por fase.

Passo 8

Calcular a regulação para \text{pf}=1 (caso b). Substituindo |E_g|=3840{,}671\\ \mathrm{V} e |V_t|=2656{,}854249\\ \mathrm{V},
\text{RV}=\frac{3840{,}671-2656{,}854249}{2656{,}854249}\times 100\% =\frac{1183{,}816751}{2656{,}854249}\times 100\%=44{,}61\%\\ (\text{aprox.}).

Passo 9

Caso (c): fator de potência 0{,}75 atrasado (lag). O ângulo de carga \varphi é
\varphi=\operatorname{arccos}(0{,}75)=41{,}409622^\circ\approx 41{,}41^\circ.
Como é atrasado, a corrente está atrasada em relação à tensão, portanto
I_a = I\angle(-\varphi)=125{,}530934\angle(-41{,}409622^\circ).
Escrevendo em componentes retangulares (usaremos \cos\varphi=0{,}75 e \sin\varphi\approx 0{,}661437828):
I_a =125{,}530934(0{,}75 - j\,0{,}661437828)=94{,}1482005 - j\,83{,}073875\\ \mathrm{A}.

Passo 10

Calcular I_a(R+jX_s) para \text{pf}=0{,}75 atrasado:
Usando produto de complexos,
I_a(R+jX_s)=(94{,}1482005 - j\,83{,}073875)(2 + j20).
Fazendo a multiplicação (parte real e imaginária):
\text{Re}=94{,}1482005\cdot 2 - (-83{,}073875)\cdot 20=1849{,}773901,
\text{Im}=94{,}1482005\cdot 20 + (-83{,}073875)\cdot 2=1716{,}81626.
Então
I_a(R+jX_s)=1849{,}773901 + j\,1716{,}81626\\ \mathrm{V}.
Somando com V_t,
E_g=2656{,}854249 + 1849{,}773901 + j\,1716{,}81626 = 4506{,}62815 + j\,1716{,}81626.

Passo 11

Calcular magnitude de E_g no caso \text{pf}=0{,}75 atrasado:
|E_g|=\sqrt{4506{,}62815^2+1716{,}81626^2}=4821{,}968\\ \mathrm{V}\approx 4821{,}97\\ \mathrm{V}.
Agora a regulação:
\text{RV}=\frac{4821{,}968-2656{,}854249}{2656{,}854249}\times 100\%=\frac{2165{,}113751}{2656{,}854249}\times 100\%\approx 81{,}49\%.

Resposta

a) E_{g}=3840{,}67\angle 40{,}81^\circ\\ \mathrm{V\\ por\\ fase}
b) RV=44{,}61\%
c) RV=81{,}49\%

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