Uma máquina \mathrm{CC}(6 \mathrm{~kW}, 120 \mathrm{~V}, 1200 \mathrm{rpm}) possui a seguinte característica de magnetização:
I_{f}(A) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,2
E_{g}(A) 5 20 40 60 79 93 102 114 120 125
As grandezas do circuito elétrico da máquina com excitação independente são: R_{a}= 0,2 \Omega, R_{f}=100 \Omega. A máquina gira com 1200 rpm e nessa situação a corrente de campo é ajustada para 0,8 \mathrm{~A}. Uma carga de 2 \Omega é conectada nos terminais da armadura. Calcule:
a) A tensão gerada E_{g} e a corrente de armadura I_{a};
b) A quantidade k \varphi da máquina em V/(rad/seg);
c) A potência ativa entregue para a carga;
d) O conjugado T desenvolvido na armadura da máquina.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas quando a máquina está funcionando com excitação independente ajustada para \,0{,}8\\ \mathrm{A}\, e uma carga de \,2\\ \Omega\, conectada aos terminais:
  • (a) A tensão gerada \,E_{g}\, e a corrente de armadura \,I_{a}\,.
  • (b) O valor de \,k\varphi\, em unidades de \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}).
  • (c) A potência ativa entregue para a carga.
  • (d) O conjugado (torque) \,T\, desenvolvido na armadura.
Informações fornecidas (todas listadas explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Dados da máquina: potência nominal }6\\ \mathrm{kW},\\ \text{tensão nominal }120\\ \mathrm{V},\\ \text{velocidade }1200\\ \mathrm{rpm}.\\\ &\text{Característica de magnetização (pego da tabela do enunciado): para }I_f=0{,}8\\ \mathrm{A}\Rightarrow E_g=114\\ \mathrm{V}.\\\ &R_a = 0{,}2\\ \Omega,\qquad R_f = 100\\ \Omega.\\\ &\text{Carga ligada aos terminais: }R_{\text{carga}} = 2\\ \Omega.\\\ &\text{Velocidade de operação dada: }n=1200\\ \mathrm{rpm}. \end{aligned}áêãíçãçã
Observação: peguei o valor de \,E_g=114\\ \mathrm{V}\, diretamente da tabela de magnetização do enunciado para \,I_f=0{,}8\\ \mathrm{A}\,.

Passo 2

Conceito básico e equações elétricas úteis (aula rápida):
  • Para um gerador CC excitado independentemente, a tensão terminal \,V_t\, (tensão na carga) é a tensão gerada \,E_g\, menos a queda na resistência da armadura:
V_t = E_g - I_a R_a.
Aqui \,I_a\, é a corrente de armadura (igual à corrente que passa pela carga se desprezarmos corrente de campo, porque o circuito da armadura alimenta a carga diretamente).
  • A corrente que circula pela carga é dada por Ohm:
I_a = \dfrac{V_t}{R_{\text{carga}}}.
Juntando as duas equações temos a equação principal para encontrar \,I_a\,:
I_a R_{\text{carga}} = E_g - I_a R_a \quad\Longrightarrow\quad I_a (R_{\text{carga}} + R_a) = E_g.
Portanto
I_a = \dfrac{E_g}{R_{\text{carga}} + R_a}.
Explicação das variáveis:
  • \,E_g\,: força eletromotriz gerada no indutor do rotor (V).
  • \,V_t\,: tensão nos terminais do gerador (V).
  • \,I_a\,: corrente de armadura, que alimenta a carga (A).
  • \,R_a\,: resistência da armadura (Ω).
  • \,R_{\text{carga}}\,: resistência externa conectada aos terminais (Ω).

Passo 3

Cálculo de \,E_g\, a usar e justificativa:
  • Pelo enunciado e pela tabela de magnetização, para \,I_f=0{,}8\\ \mathrm{A}\, temos \,E_g=114\\ \mathrm{V}. Estou usando esse \,E_g\, porque a curva de magnetização fornece exatamente a tensão gerada para cada corrente de excitação na velocidade dada (a velocidade de operação informada é \,1200\\ \mathrm{rpm}\,, mesma referência da característica), então esse é o \,E_g\, que entra na equação de circuito.

Passo 4

Cálculo da corrente de armadura \,I_a\, usando a fórmula do Passo 2:
I_a = \dfrac{E_g}{R_{\text{carga}} + R_a} = \dfrac{114}{2 + 0{,}2}.
Calculemos passo a passo:
R_{\text{carga}} + R_a = 2 + 0{,}2 = 2{,}2\\ \Omega.
I_a = \dfrac{114}{2{,}2} = 51{,}818181\ldots\\ \mathrm{A}.
Arredondando com razoável precisão para a prova:
I_a \approx 51{,}82\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Cálculo da tensão nos terminais \,V_t\, (útil para verificar e para potência na carga):
V_t = I_a \, R_{\text{carga}} = 51{,}818181\ldots \times 2 = 103{,}636363\ldots\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
V_t \approx 103{,}64\\ \mathrm{V}.
Verificação com a equação V_t = E_g - I_a R_a:
I_a R_a = 51{,}81818\ldots \times 0{,}2 = 10{,}363636\ldots\\ \mathrm{V},
E_g - I_a R_a = 114 - 10{,}363636\ldots = 103{,}636363\ldots\\ \mathrm{V},
que coincide com V_t calculado acima — portanto a conta está consistente.

Passo 6

Cálculo de \,k\varphi\, (parte b) — conceito e conversão de velocidade:
  • Relação fundamental entre tensão gerada, fluxo e velocidade em gerador CC:
E_g = k\varphi \,\omega,
onde \,k\varphi\, é a constante de máquina (combinação de constante geométrica e fluxo) em \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}) e \,\omega\, é a velocidade angular em \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • Conversão de velocidade:
n = 1200\\ \mathrm{rpm} \Longrightarrow \omega = 2\pi \dfrac{n}{60} = 2\pi \dfrac{1200}{60} = 2\pi \cdot 20 = 40\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • Logo
k\varphi = \dfrac{E_g}{\omega} = \dfrac{114}{40\pi}.
Calculemos numericamente:
k\varphi = \dfrac{114}{40\pi} = \dfrac{2{,}85}{\pi} \approx 0{,}9070\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}).
Arredondando:
k\varphi \approx 0{,}907\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}).
Breve interpretação: esse k\varphi é o fator que converte velocidade angular em tensão por ampère-turn do campo (aqui já com o fluxo que foi gerado por I_f=0{,}8\\ \mathrm{A}).

Passo 7

Cálculo da potência ativa entregue à carga (parte c) — fórmulas e cálculo:
  • A potência elétrica absorvida pela carga é
P_{\text{carga}} = V_t \cdot I_a = I_a^2 \, R_{\text{carga}}.
Usando os valores já obtidos:
P_{\text{carga}} = (51{,}818181\ldots)^2 \times 2.
Cálculo passo a passo:
I_a^2 \approx 51{,}81818^2 \approx 2685{,}9529\\ \mathrm{A}^2,
P_{\text{carga}} \approx 2685{,}9529 \times 2 = 5371{,}9058\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
P_{\text{carga}} \approx 5371{,}9\\ \mathrm{W} \\ (\approx 5{,}372\\ \mathrm{kW}).
Observação rápida de checagem: a potência convertida pela indução elétrica é E_g I_a \approx 114 \times 51{,}81818 \approx 5909{,}09\\ \mathrm{W}. Deste total, parte é perdida na resistência da armadura: I_a^2 R_a \approx 537{,}19\\ \mathrm{W}. Assim P_{\text{carga}} \approx 5909{,}09 - 537{,}19 \approx 5371{,}9\\ \mathrm{W}, consistente.

Passo 8

Cálculo do conjugado (torque) desenvolvido na armadura (parte d) — conceito e cálculo:
  • Relação entre torque eletromagnético, corrente de armadura e constante k\varphi:
T = k\varphi \, I_a.
Explicação de por que isso funciona: E_g = k\varphi \omega converte velocidade em tensão; multiplicando E_g por I_a dá potência elétrica interna; dividindo potência elétrica pela velocidade angular \omega dá torque; combinando resulta em T = k\varphi I_a. As unidades conferem: \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}) \times \mathrm{A} = \mathrm{W}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}) = \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
  • Usando k\varphi \approx 0{,}9070\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}) e I_a \approx 51{,}81818\\ \mathrm{A}:
T = 0{,}9070 \times 51{,}81818 \approx 46{,}9999\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Arredondando:
T \approx 47{,}0\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Verificação alternativa rápida: podemos também usar T = \dfrac{P_{\text{desenvolvida}}}{\omega} onde P_{\text{desenvolvida}} = E_g I_a (potência elétrica induzida antes da queda ôhmica), então
T = \dfrac{E_g I_a}{\omega} = \dfrac{114 \times 51{,}81818}{40\pi} \approx 47{,}0\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m},
o que confirma o resultado.

Resposta

(a) E_{g}=114\\ \mathrm{V},\quad I_{a}=51{,}82\\ \mathrm{A}.
(b) k\varphi \approx 0{,}907\\ \mathrm{V}/(\mathrm{rad}/\mathrm{s}).
(c) P_{\text{carga}} \approx 5371{,}9\\ \mathrm{W}.
(d) T \approx 47{,}0\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.

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