Um gerador síncrono ligado em \mathrm{Y} ; 100 \mathrm{MVA} ; 14,4 \mathrm{kV}, 50 \mathrm{~Hz}, dois polos e FP 0,8 atrasado tem uma reatância síncrona de 2,28 \Omega e uma resistência de armadura de 0,023 \Omega.
a) Qual a velocidade de rotação do eixo desse gerador? ( \mathrm{R} .: n_{\mathrm{m}}=3.000 \mathrm{rpm} )
b) Desenhe o diagrama fasorial do gerador em condições nominais. Para isso, encontre os valores dos fasores de tensão interna gerada, corrente de armadura e tensão de fase do gerador. (R.: V_{\varphi}=8.314 \angle 0^{\circ} \mathrm{V}, E_{A}=15.660 \angle 27,6^{\circ} \mathrm{V}, I_{A}= 4.009 \angle-36,87^{\circ} \mathrm{A} )
c) Ignorando as perdas do gerador, que conjugado deve ser aplicado no seu eixo pela máquina motriz à plena carga? (R.: \tau_{\mathrm{AP}}=254.700 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a) a velocidade de rotação do eixo do gerador; b) desenhar o diagrama fasorial em condições nominais, isto é, encontrar os fasores da tensão interna gerada E_A, da corrente de armadura I_A e da tensão de fase do gerador V_{\varphi}; c) o conjugado (torque) aplicado ao eixo pela máquina motriz à plena carga, desprezando perdas.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Conexão: } Y\\\ &S_{\text{nom}} = 100\\ \mathrm{MVA} = 100\times 10^{6}\\ \mathrm{VA}\\\ &V_{LL} = 14{,}4\\ \mathrm{kV} = 14{,}400\\ \mathrm{V}\\\ &f = 50\\ \mathrm{Hz}\\\ &p = 2\\ \text{(dois polos)}\\\ &\text{Fator de potência: } \mathrm{FP}=0{,}8\\ \text{atrasado (lag)}\\\ &X_s = 2{,}28\\ \Omega\\\ &R_a = 0{,}023\\ \Omega \end{aligned}ãê
Observações que vou usar sem pedir nada: a tensão de linha V_{LL} é a dada, e a tensão de fase em gerador Y é V_{\varphi}=V_{LL}/\sqrt{3}. Vou tomar a tensão de fase V_{\varphi} como referência angular ( 0^\circ). A corrente de armadura tem ângulo negativo porque o FP é atrasado (corrente atrasa a tensão). A equação fasorial fundamental do gerador (por fase) que vou usar é
E_A = V_{\varphi} + I_A\,(R_a + j X_s).

Passo 2

Calcular a velocidade síncrona (velocidade de rotação do eixo) a partir do número de polos e da frequência. Fórmula:
n_m = \frac{120\,f}{p},
onde n_m é a rotação em rpm, f é a frequência em Hz e p é o número de polos. Substituindo:
n_m = \frac{120\cdot 50}{2} = 3000\\ \mathrm{rpm}.

Passo 3

Calcular a tensão de fase (valor eficaz) do gerador em conexão Y. Fórmula (relação linha-fase em Y):
V_{\varphi} = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
Substituindo:
V_{\varphi} = \frac{14{,}400}{\sqrt{3}} \approx 8{,}314\\ \mathrm{V}.
Escolho a referência angular V_{\varphi}=8{,}314\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular a corrente de armadura nominal (corrente de linha) a partir da potência aparente e da tensão de linha. Fórmula (sistema trifásico):
I_{\text{nom}} = \frac{S_{\text{nom}}}{\sqrt{3}\,V_{LL}}.
Substituindo:
I_{\text{nom}} = \frac{100\times 10^{6}}{\sqrt{3}\cdot 14{,}400}\approx 4{,}009\\ \mathrm{A}.
Como o FP é 0{,}8 atrasado, o ângulo de fase entre tensão e corrente é
\varphi=\cos^{-1}(0{,}8)\approx 36{,}86989765^\circ.
A corrente atrasa a tensão, portanto o fasor da corrente é
I_A = 4{,}009\angle -36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Converter I_A para forma retangular para facilitar multiplicações com a impedância:
I_A = I\big(\cos\varphi + j\sin\varphi\big).
Calculando \cos\varphi=0{,}8 e \sin\varphi= -0{,}6 (sinal negativo porque o ângulo é -36{,}87^\circ):
I_A = 4{,}009\big(0{,}8 - j0{,}6\big) = 3{,}207{,}2 - j2{,}405{,}4\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcular a queda de tensão I_A(R_a + jX_s). Primeiro escrevo a impedância:
Z_s = R_a + jX_s = 0{,}023 + j\,2{,}28\\ \Omega.
Multiplicação (faça isso passo a passo na prova): se I = a + jb e Z = c + jd então IZ = (ac - bd) + j(ad + bc).
Aqui a=3{,}207{,}2, b=-2{,}405{,}4, c=0{,}023, d=2{,}28.
Calculemos as partes:
\begin{aligned} ac &= 3{,}207{,}2\cdot 0{,}023 = 73{,}7656,\\\ bd &= (-2{,}405{,}4)\cdot 2{,}28 = -5{,}484{,}312,\\\ ac-bd &= 73{,}7656 - (-5{,}484{,}312) = 5{,}558{,}0776,\\\ ad &= 3{,}207{,}2\cdot 2{,}28 = 7{,}312{,}416,\\\ bc &= (-2{,}405{,}4)\cdot 0{,}023 = -55{,}322,\\\ ad+bc &= 7{,}312{,}416 - 55{,}322 = 7{,}257{,}094. \end{aligned}
Portanto a queda de tensão é
I_A Z_s \approx 5{,}558{,}08 + j\,7{,}257{,}09\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Calcular a tensão interna gerada por fase usando E_A = V_{\varphi} + I_A Z_s. Escrevo V_{\varphi}=8{,}314 + j0.
\begin{aligned} \Re\{E_A\} &= 8{,}314 + 5{,}558{,}08 = 13{,}872{,}08\\ \mathrm{V},\\\ \Im\{E_A\} &= 0 + 7{,}257{,}09 = 7{,}257{,}09\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
Logo o fasor em forma retangular é
E_A \approx 13{,}872{,}08 + j\,7{,}257{,}09\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Passar E_A para forma polar (magnitude e ângulo). Magnitude:
|E_A| = \sqrt{(13{,}872{,}08)^2 + (7{,}257{,}09)^2}\approx 15{,}660\\ \mathrm{V}.
Ângulo:
\theta_{E} = \tan^{-1}\!\left(\frac{7{,}257{,}09}{13{,}872{,}08}\right)\approx 27{,}6^\circ.
Portanto
E_A \approx 15{,}660\angle 27{,}6^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Resumo dos fasores (já calculados e prontos para o diagrama fasorial): escolha-se V_{\varphi} como referência em 0^\circ, então
\begin{aligned} V_{\varphi} &= 8{,}314\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},\\\ I_A &= 4{,}009\angle -36{,}87^\circ\\ \mathrm{A},\\\ E_A &= 15{,}660\angle 27{,}6^\circ\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
Descrição do diagrama fasorial (como desenhar na prova): desenhe V_{\varphi} na direção horizontal para a direita (referência). Em seguida desenhe I_A com comprimento proporcional a 4{,}009 e com ângulo -36{,}87^\circ (abaixo do eixo). A queda de tensão I_A(R_a + jX_s) é um vetor relativamente grande com componente reatância positiva (impulsiona para cima, porque I tem componente negativa imag, multiplicação por jX_s gira e altera sinal — o cálculo numérico acima já dá o vetor). Somando V_{\varphi} com essa queda você obtém E_A que está à frente de V_{\varphi} em 27{,}6^\circ. Isso confirma o comportamento esperado de um gerador operando com FP atrasado: E_A antecipa V_{\varphi}.

Passo 10

Calcular o conjugado (torque) no eixo, desprezando perdas. Procedimento didático:
  • A potência ativa entregue pela máquina (elétrica) por fase é P_{\text{total}} = S_{\text{nom}}\cdot \mathrm{FP}.
  • Como desprezamos perdas, a potência mecânica de entrada fornecida pela máquina motriz (para manter rotação síncrona) é igual à potência elétrica de saída:
P_{\text{mech}} = P_{\text{el}} = S_{\text{nom}}\cdot \mathrm{FP}.
  • O torque médio (conjugado) é dado por
\tau = \frac{P_{\text{mech}}}{\omega_m},
onde \omega_m é a velocidade angular em rad/s:
\omega_m = \frac{2\pi n_m}{60}.
Calculemos numericamente:
P_{\text{mech}} = 100\times 10^{6}\cdot 0{,}8 = 80\times 10^{6}\\ \mathrm{W}.
Velocidade angular:
\omega_m = \frac{2\pi\cdot 3000}{60} = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 314{,}159\\ \mathrm{rad/s}.
Torque:
\tau = \frac{80\times 10^{6}}{100\pi}\approx 254{,}647{,}9\\ \mathrm{N\cdot m},
arredondando
\tau \approx 254{,}700\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

(a) n_{m}=3{,}000\\ \mathrm{rpm}
(b) V_{\varphi}=8{,}314\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
E_{A}=15{,}660\angle 27{,}6^\circ\\ \mathrm{V}
I_{A}=4{,}009\angle -36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}
(c) \tau_{\mathrm{AP}}\approx 254{,}700\\ \mathrm{N\cdot m}

Exercícios relacionados