Um gerador trifásico balanceado produz uma tensão de 127 V em cada fase. Desenhe esse gerador na configuração estrela, e determine:
(a) as três tensões de fase e três tensões de linha. (considerando uma das tensoes de fase como \dot{V}=127 \angle 0^{\circ} );

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe o gerador em configuração estrela e que determine: (a) as três tensões de fase e as três tensões de linha, sabendo que cada tensão de fase tem magnitude 127\\ \text{V} e que uma delas é \dot{V}=127\angle 0^\circ. Informações relevantes fornecidas:
  • Cada tensão de fase (fase para o neutro) tem magnitude 127\\ \text{V}.
  • Uma das tensões de fase é \dot{V}=127\angle 0^\circ.
  • O gerador é trifásico balanceado (portanto as três tensões de fase têm a mesma magnitude e defasagens entre si de 120^\circ).
  • A configuração é estrela (cada uma das três bobinas tem um terminal ligado a um ponto comum chamado neutro; as outras pontas são as saídas de fase a, b, c).

Passo 2

Descrição do desenho da conexão estrela (como você desenharia no caderno):
  • Desenhe três fontes ou bobinas com os terminais “a”, “b” e “c” apontando para fora; conecte os outros três terminais juntos num ponto central chamado N (neutro). Esse ponto N é comum às três fases.
  • As tensões de fase são as tensões entre cada fase e o neutro: V_aN, V_bN, V_cN.
  • As tensões de linha são as tensões entre as fases: V_{ab}=V_a - V_b, V_{bc}=V_b - V_c, V_{ca}=V_c - V_a.
    Isso basta para o desenho conceitual em estrela sem ambiguidade.

Passo 3

Definir as três tensões de fase (explicando o porquê das defasagens):
  • Num sistema trifásico balanceado as três tensões de fase têm a mesma magnitude e estão defasadas de 120^\circ entre si. Como foi dado que uma é \dot{V}_a = 127\angle 0^\circ, escolhemos a convenção usual onde as demais são deslocadas -120^\circ e +120^\circ.
    Logo, as três tensões de fase são:
\dot{V}_a = 127\angle 0^\circ
\dot{V}_b = 127\angle (-120^\circ)
\dot{V}_c = 127\angle (+120^\circ)
Explicação didática: pensar em vetores no plano complexo; colocar o primeiro vetor em 0^\circ e os outros dois separados por 120^\circ forma um triângulo equilátero ao redor da origem — é isso que significa “balanceado”.

Passo 4

Como obter as tensões de linha a partir das tensões de fase (fórmula e justificativa):
  • Por definição em estrela a tensão de linha entre duas fases é a diferença entre as tensões de fase correspondentes (cada tensão é fase em relação ao neutro). Portanto:
\dot{V}_{ab} = \dot{V}_a - \dot{V}_b
\dot{V}_{bc} = \dot{V}_b - \dot{V}_c
\dot{V}_{ca} = \dot{V}_c - \dot{V}_a
Explicação didática: se você mede entre os terminais a e b, mede a diferença de potencial entre os pontos que têm, cada um, uma tensão em relação ao neutro. Em termos de vetores, subtraímos os vetores fase a fase.

Passo 5

Cálculo de \dot{V}_{ab} = \dot{V}_a - \dot{V}_b passo a passo (magnitude e ângulo):
  • Escrevendo em forma complexa com exponenciais:
\dot{V}_a = 127 e^{j0^\circ},\qquad \dot{V}_b = 127 e^{-j120^\circ}.
  • Subtraindo:
\dot{V}_{ab} = 127\bigl(1 - e^{-j120^\circ}\bigr).
  • Para achar magnitude e ângulo, fatoramos usando uma identidade útil. Note que
1 - e^{-j120^\circ} = e^{-j60^\circ}\bigl(e^{j60^\circ}-e^{-j60^\circ}\bigr) = e^{-j60^\circ}\cdot 2j\sin 60^\circ.
  • Como \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
1 - e^{-j120^\circ} = e^{-j60^\circ}\cdot 2j\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = j\sqrt{3}\,e^{-j60^\circ}.
  • Multiplicando por 127:
\dot{V}_{ab} = 127\cdot j\sqrt{3}\,e^{-j60^\circ}.
  • Reescrevendo j = e^{j90^\circ}:
\dot{V}_{ab} = 127\sqrt{3}\,e^{j(90^\circ-60^\circ)} = 127\sqrt{3}\,e^{j30^\circ}.
  • Portanto:
\dot{V}_{ab} = 127\sqrt{3}\angle 30^\circ.
  • Magnitude numérica:
127\sqrt{3}\approx 127\cdot 1{,}73205 \approx 219{,}96\\ \text{V}\approx 220\\ \text{V}.

Passo 6

Cálculo das demais tensões de linha por simetria (explicando por que é só girar 120^\circ):
  • Num sistema balanceado os resultados para as tensões de linha também são balanceados: as três tensões de linha têm mesma magnitude e ficam defasadas entre si de 120^\circ.
  • A partir de \dot{V}_{ab} = 127\sqrt{3}\angle 30^\circ, girando -120^\circ obtemos \dot{V}_{bc}, e girando mais -120^\circ obtemos \dot{V}_{ca}. Assim:
\dot{V}_{bc} = 127\sqrt{3}\angle (30^\circ - 120^\circ) = 127\sqrt{3}\angle (-90^\circ).
\dot{V}_{ca} = 127\sqrt{3}\angle (-90^\circ - 120^\circ) = 127\sqrt{3}\angle (150^\circ).
  • Podemos verificar com a definição direta:
\dot{V}_{bc}=\dot{V}_b-\dot{V}_c=127\bigl(e^{-j120^\circ}-e^{j120^\circ}\bigr) =127\sqrt{3}\angle(-90^\circ),
o que confirma a simetria.

Passo 7

Resumo final dos valores (mostrando tanto forma fasorial quanto valores numéricos arredondados):
  • Tensões de fase (fase para neutro):
\dot{V}_a = 127\angle 0^\circ\\ \text{V}
\dot{V}_b = 127\angle (-120^\circ)\\ \text{V}
\dot{V}_c = 127\angle (+120^\circ)\\ \text{V}
  • Tensões de linha (entre fases):
\dot{V}_{ab} = 127\sqrt{3}\angle 30^\circ \approx 219{,}96\angle 30^\circ\\ \text{V}\\ (\approx 220\angle 30^\circ\\ \text{V})
\dot{V}_{bc} = 127\sqrt{3}\angle (-90^\circ) \approx 219{,}96\angle (-90^\circ)\\ \text{V}
\dot{V}_{ca} = 127\sqrt{3}\angle 150^\circ \approx 219{,}96\angle 150^\circ\\ \text{V}

Resposta

\dot{V}_a = 127\angle 0^\circ\\ \text{V}
\dot{V}_b = 127\angle (-120^\circ)\\ \text{V}
\dot{V}_c = 127\angle (+120^\circ)\\ \text{V}
\dot{V}_{ab} = 127\sqrt{3}\angle 30^\circ \approx 219{,}96\angle 30^\circ\\ \text{V}
\dot{V}_{bc} = 127\sqrt{3}\angle (-90^\circ) \approx 219{,}96\angle (-90^\circ)\\ \text{V}
\dot{V}_{ca} = 127\sqrt{3}\angle 150^\circ \approx 219{,}96\angle 150^\circ\\ \text{V}

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