Para um sistema trífásico balanceado alimentando cargas equilibradas (isto é, três cargas com impedâncias iguais em módulo e fase)), qual expressão para a potência ativa, reativa e aparente em função das tensões de linha e correntes de linha para
(a) Configuração Y

Passo 1

O enunciado pede: para um sistema trifásico balanceado que alimenta cargas equilibradas (três impedâncias iguais em módulo e fase), encontrar expressões da potência ativa, reativa e aparente em função das tensões de linha e correntes de linha para a configuração Y.
Informações relevantes dadas:
  • O sistema é trifásico e balanceado.
  • As três cargas são idênticas (mesma impedância por fase, mesma fase).
  • Queremos expressar P (potência ativa), Q (potência reativa) e S (potência aparente) em termos das tensões de linha e correntes de linha.
  • A configuração pedida é a ligação em Y (estrela).

Passo 2

Definindo as grandezas e o que cada símbolo significa (para não haver confusão depois):
  • \,V_L é a magnitude da tensão de linha (tensão entre duas fases, também chamada de tensão fase-fase).
  • \,I_L é a magnitude da corrente de linha (corrente que percorre cada condutor de fase).
  • \,V_{ph} é a magnitude da tensão de fase (tensão entre uma fase e o neutro).
  • \,I_{ph} é a magnitude da corrente de fase (corrente na impedância de cada fase).
  • \,\varphi é o ângulo de defasagem entre a tensão de fase e a corrente de fase (ângulo de fase da impedância da carga).
  • S será a potência aparente total do sistema trifásico, P a potência ativa total e Q a potência reativa total.
Observação sobre a ligação em Y: cada impedância está entre uma fase e o neutro; portanto existe uma tensão de fase em cada impedância.

Passo 3

Relação entre tensões de linha e tensões de fase na ligação Y.
Vou mostrar por que \,V_{ph}=\dfrac{V_L}{\sqrt{3}}. Considere duas tensões de fase (fasores) defasadas de 120^\circ: \,V_{an} e \,V_{bn}. A tensão de linha \,V_{ab} é a diferença de fasores:
V_{ab}=V_{an}-V_{bn}.
Em módulo, usando que |V_{an}|=|V_{bn}|=V_{ph} e que o ângulo entre eles é 120^\circ,
|V_{ab}|=\sqrt{V_{ph}^2+V_{ph}^2-2V_{ph}^2\cos 120^\circ} =\sqrt{2V_{ph}^2-2V_{ph}^2\left(-\tfrac12\right)} =\sqrt{3}\,V_{ph}.
Mas |V_{ab}|=V_L. Logo
V_{ph}=\frac{V_L}{\sqrt{3}}.
Esta relação vale para magnitudes em sistemas balanceados. (É um resultado clássico: tensão de fase é tensão de linha dividida por \sqrt{3} na estrela.)

Passo 4

Relação entre correntes de linha e correntes de fase na ligação Y.
Na ligação em Y, cada corrente de linha alimenta diretamente a impedância de uma fase (não há divisão), portanto em módulo e fasor:
I_{ph}=I_L.
Ou seja, a corrente que circula na impedância de cada fase é igual à corrente na respectiva linha.

Passo 5

Expressão da potência por fase e total — definições e explicação.
Definição de potência complexa por fase (para uma carga monofásica): o complexo de potência por fase é
S_{ph}=V_{ph}\,I_{ph}^*,
onde o asterisco indica conjugado complexo. Em módulo e ângulo, se \,V_{ph} e \,I_{ph} têm defasagem \varphi (isto é, a corrente está defasada em \varphi em relação à tensão), então
  • potência ativa por fase:
P_{ph}=V_{ph}\,I_{ph}\cos\varphi,
  • potência reativa por fase:
Q_{ph}=V_{ph}\,I_{ph}\sin\varphi,
  • potência aparente por fase:
|S_{ph}|=V_{ph}\,I_{ph}.
Como o sistema é balanceado, as três fases contribuem igualmente, então a potência total é três vezes a potência por fase:
P=3P_{ph},\qquad Q=3Q_{ph},\qquad S=3S_{ph}.

Passo 6

Substituição das relações V_{ph}=\dfrac{V_L}{\sqrt{3}} e I_{ph}=I_L nas fórmulas de potência total.
Calculando P:
P=3\bigl(V_{ph} I_{ph}\cos\varphi\bigr) =3\left(\frac{V_L}{\sqrt{3}}\cdot I_L\cdot\cos\varphi\right) =\sqrt{3}\,V_L\,I_L\cos\varphi.
Calculando Q:
Q=3\bigl(V_{ph} I_{ph}\sin\varphi\bigr) =3\left(\frac{V_L}{\sqrt{3}}\cdot I_L\cdot\sin\varphi\right) =\sqrt{3}\,V_L\,I_L\sin\varphi.
Calculando a potência aparente total (magnitude):
S=3\bigl(V_{ph} I_{ph}\bigr) =3\left(\frac{V_L}{\sqrt{3}}\cdot I_L\right) =\sqrt{3}\,V_L\,I_L.
Também é útil a forma complexa da potência total (com ângulo \varphi):
S = P + jQ = \sqrt{3}\,V_L\,I_L\;e^{j\varphi},
ou, em notação de fasor,
S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\angle\varphi.

Passo 7

Resumo didático e dica para prova (curto e prático).
  • Em estrela balanceada: use sempre V_{ph}=V_L/\sqrt{3} e I_{ph}=I_L.
  • Calcule a potência por fase V_{ph}I_{ph} e multiplique por 3.
  • Resultado final rápido que você deve memorizar para prova:
P=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\cos\varphi,\quad Q=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\sin\varphi,\quad S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L.
Respira fundo — é só aplicar essa receita e pronto. Você consegue!

Resposta

P=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\cos\varphi
Q=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\sin\varphi
S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L

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