Um gerador trifásico simétrico, com tensão de linha de 380 V , alimenta, através de uma linha, uma carga equilibrada constituída por três impedâncias de 20 \mid 30^{\circ} \Omega (cada uma) ligadas em estrela. A impedância de cada fio da linha é 2 \mid 30^{\circ} \Omega. Pede-se determinar:
a) tensões de fase e de linha no gerador;
b) correntes de fase e de linha na carga;
c) tensões de linha e de fase na carga;
d) queda de tensão de fase e queda de tensão de linha;
e) potência absorvida pela carga;
f) potência fornecida pelo gerador;
g) perdas na linha.
Resposta:
a) adotando-se seqüência de fases direta e fase nula para V A N :
tensões de fase: V A N=220 \mid 0 \mathrm{~V}; V B N=220 \mid-120^{\circ} \mathrm{V}; V C N=220 \mid 120^{\circ} \mathrm{V}; tensões de linha:
V A B=380 \mid 30^{\circ} \mathrm{V}; VBC = 380 \mid-90^{\circ} \mathrm{V}; VCA = 380 \mid 150^{\circ} \mathrm{V};
b) correntes de linha e de fase (ligação Y): I A=10 \mid-30^{\circ} \mathrm{A}; I B=10 \mid-150^{\circ} \mathrm{A}; I C=10 \mid 90^{\circ} \mathrm{A};
c) tensões de fase: V A^{\prime} N^{\prime}=200 \mid 0 \mathrm{~V}; V B^{\prime} N^{\prime}=220 \mid-120^{\circ} \mathrm{V}; V C^{\prime} N^{\prime}=220 \mid 120^{\circ} \mathrm{V};
tensões de linha: V A^{\prime} B^{\prime}=346\left|30^{\circ} \mathrm{V} ; V B^{\prime} C^{\prime}=346\right|-90^{\circ} \mathrm{V} ; V C^{\prime} A^{\prime}=346 \mid 150^{\circ} \mathrm{V};
d) fase: V A A^{\prime}=20\left|0 \mathrm{~V} ; V B B^{\prime}=20\right|-120^{\circ} \mathrm{V} ; V C C^{\prime}=20 \mid 120^{\circ} \mathrm{V} ; V A B-V A^{\prime} B^{\prime}=34
linha: \quad \mid 30^{\circ} \mathrm{V}); V B C-V B^{\prime} C^{\prime}=34 \mid-90^{\circ} \mathrm{V}; V C A-V C^{\prime} A^{\prime}=34 \mid 150^{\circ} \mathrm{V};
е) P=5196 \mathrm{~W} ; Q=3000 \mathrm{VAr} ; S=6000 \mathrm{VA};
f) P=5716 \mathrm{~W} ; Q=3300 \mathrm{VAr} ; S=6600 \mathrm{VA};
g) P=520 \mathrm{~W} ; Q=300 \mathrm{VAr} ; S=600 \mathrm{VA}.
Observação: Note que a potência aparente total gerada vale 6600=6000+600 \mathrm{VA} ( = carga + perdas). Isto se deve unicamente a que a impedância da linha e a impedância da carga têm a mesma fase ( 30^{\circ} ). No caso geral (impedâncias com fase distintas) isto não se verifica. O balanço de potências geração = carga + perdas é sempre válido apenas para as potências ativas e reativas.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema trifásico equilibrado, estrela–estrela, com tensão de linha no gerador V_{LL}=380 V, impedância de cada fio Z_{L}=2\angle 30^\circ, \Omega e carga por fase Z_{C}=20\angle 30^\circ, \Omega. Vamos usar representação por fase única, pois o sistema é simétrico.

Passo 2

Calculamos a tensão de fase do gerador como
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\approx220\text{ V}.
Escolhendo sequência positiva e fazenda A referência: \displaystyle V_{AN}=220\angle0^\circ V, \displaystyle V_{BN}=220\angle-120^\circ V, \displaystyle V_{CN}=220\angle120^\circ V.
As tensões de linha resultam em \displaystyle V_{AB}=380\angle30^\circ V, \displaystyle V_{BC}=380\angle-90^\circ V, \displaystyle V_{CA}=380\angle150^\circ V.

Passo 3

A impedância total por fase é
Z_{tot}=Z_{L}+Z_{C}=2\angle30^\circ+20\angle30^\circ=22\angle30^\circ\\ \Omega.
A corrente de fase em A é
I_{A}=\frac{V_{AN}}{Z_{tot}} =\frac{220\angle0^\circ}{22\angle30^\circ} =10\angle-30^\circ\text{ A},
e em B,C seguem as mesmas rotações de -120^\circ e +120^\circ: \displaystyle I_{B}=10\angle-150^\circ A, \displaystyle I_{C}=10\angle90^\circ A.
Como a carga é em Y, as correntes de linha são iguais às de fase.

Passo 4

A tensão na carga (fase) em A é
V_{A'N'}=I_{A}\,Z_{C} =10\angle-30^\circ\cdot20\angle30^\circ =200\angle0^\circ\text{ V},
e em B,C, giradas em -120^\circ e +120^\circ: \displaystyle V_{B'N'}=200\angle-120^\circ V, \displaystyle V_{C'N'}=200\angle120^\circ V.
As tensões de linha na carga têm módulo \sqrt{3}\,200\approx346 V, com as mesmas fases de antes, por exemplo \displaystyle V_{A'B'}=346\angle30^\circ V, etc.

Passo 5

A queda de tensão de fase em cada fio é
\Delta V_{A A'}=I_{A}\,Z_{L} =10\angle-30^\circ\cdot2\angle30^\circ =20\angle0^\circ\text{ V},
e nos outros ramos vêm giradas em -120^\circ e +120^\circ.
A queda de tensão de linha é \sqrt{3} vezes essa queda de fase, isto é \approx34 V com fase 30\circ para AB, etc.

Passo 6

A potência aparente da carga é
S_C=3\,V_{ph}\,I_{ph}^* =3\cdot200\angle0^\circ\cdot10\angle+30^\circ =6000\angle30^\circ\text{ VA},
logo \displaystyle P_C=6000\cos30^\circ\approx5196\text{ W}, \displaystyle Q_C=6000\sin30^\circ=3000\text{ VAr}.

Passo 7

A potência aparente fornecida pelo gerador é
S_G=3\,V_{ph,\,g}\,I_{ph}^* =3\cdot220\angle0^\circ\cdot10\angle+30^\circ =6600\angle30^\circ\text{ VA},
portanto \displaystyle P_G=6600\cos30^\circ\approx5716\text{ W}, \displaystyle Q_G=6600\sin30^\circ\approx3300\text{ VAr}.

Passo 8

As perdas na linha são a diferença
S_{loss}=S_G-S_C=600\angle30^\circ\text{ VA},
da qual \displaystyle P_{loss}=600\cos30^\circ\approx520\text{ W}, \displaystyle Q_{loss}=600\sin30^\circ=300\text{ VAr}.

Resposta

(a) V_{AN}=220\angle0^\circ V, V_{BN}=220\angle-120^\circ V, V_{CN}=220\angle120^\circ V; \displaystyle V_{AB}=380\angle30^\circ V, V_{BC}=380\angle-90^\circ V, V_{CA}=380\angle150^\circ V.
(b) I_{A}=10\angle-30^\circ A, I_{B}=10\angle-150^\circ A, I_{C}=10\angle90^\circ A.
(c) V_{A'N'}=200\angle0^\circ V, V_{B'N'}=200\angle-120^\circ V, V_{C'N'}=200\angle120^\circ V; \displaystyle V_{A'B'}=346\angle30^\circ V, V_{B'C'}=346\angle-90^\circ V, V_{C'A'}=346\angle150^\circ V.
(d) Queda de fase 20\angle0^\circ V B e C giradas -120^\circ, +120^\circ; queda de linha \approx34\angle30^\circ V, etc.
(e) P_C=5196 W, Q_C=3000 VAr, S_C=6000 VA.
(f) P_G=5716 W, Q_G=3300 VAr, S_G=6600 VA.
(g) P_{loss}=520 W, Q_{loss}=300 VAr, S_{loss}=600 VA.

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