Uma linha trifásica alimenta um motor trifásico ligado em estrela e uma máquina ligada em triângulo, cuja impedância equivalente por fase é uma associação série de resistor com capacitor. Sabe-se que:
  1. a impedância por fase do motor é 5+\mathrm{j} 5 \Omega;
  2. a impedância por fase da máquina é 10 - j 5 \Omega;
  3. a impedância da linha é desprezível;
  4. a tensão de linha é 230 V ;
  5. a sequência de fases é A-B-C;
  6. adota-se V A B com fase nula.
Pede-se determinar:
a) corrente de fase no motor;
b) corrente de fase na máquina;
c) corrente de linha;
d) potência fornecida ao motor, à máquina e total;
e) as leituras de dois wattímetros ligados junto à máquina de acordo com o teorema de Blondel (com o motor desligado);
f) as leituras de dois wattímetros ligados junto ao motor de acordo com o teorema de Blondel (com a máquina desligada);
g) as leituras de dois wattímetros ligados no início da linha de acordo com o teorema de Blondel (com a máquina e o motor ligados);
Resposta:
a) I A N=18,8\left|-75^{\circ} \mathrm{A} ; I B N=18,8\right|-195^{\circ} \mathrm{A} ; I C N=18,8 \mid 45^{\circ} \mathrm{A};
b) I A B=20,6 \mid 26,6^{\circ} \mathrm{A}; I B C=20,6 \mid-93,4^{\circ} \mathrm{A}; I C A=20,6 \mid 146,6^{\circ} \mathrm{A};
c) I A=45,3\left|-26,6^{\circ} \mathrm{A} ; I B=45,3\right|-146,6^{\circ} \mathrm{A} ; I C=45,3 \mid 93,4^{\circ} \mathrm{A};
d) motor: P=5290 \mathrm{~W} ; Q=5290 \mathrm{VAr} ; S=7481 \mathrm{VA};
máquina: P=12692 \mathrm{~W} ; Q=-6356 \mathrm{VAr} ; S=14195 \mathrm{VA};
total: P=17982 \mathrm{~W} ; Q=-1066 \mathrm{VAr} ; S=18014 \mathrm{VA};
e) W 1=8181 \mathrm{~W}; W 2=4511 \mathrm{~W};
f) W 1=1118 \mathrm{~W}; W 2=4172 \mathrm{~W};
g) W 1=9299 \mathrm{~W} ; W 2=8683 \mathrm{~W}.

Passo 1

O enunciado descreve uma linha trifásica que alimenta simultaneamente um motor ligado em estrela e uma máquina ligada em triângulo. As impedâncias por fase são \underline Z_m=5+j5\\ \Omega para o motor e \underline Z_{\Delta}=10-j5\\ \Omega para a máquina. A tensão de linha é 230 V, a sequência de fases é A–B–C e adotamos \underline V_{AB} com fase nula como referência. Vamos calcular correntes de fase, correntes de linha, potências e leituras de wattímetros pelo teorema de Blondel.

Passo 2

Para o motor em estrela a tensão de fase é
\underline V_{AN}=\frac{230}{\sqrt3}\angle -30^\circ\approx132{,}79\angle -30^\circ\text{ V},
\underline V_{BN}=\frac{230}{\sqrt3}\angle -150^\circ\approx132{,}79\angle -150^\circ\text{ V},
\underline V_{CN}=\frac{230}{\sqrt3}\angle 90^\circ\approx132{,}79\angle 90^\circ\text{ V}.
Para a máquina em triângulo as tensões de fase são as tensões de linha:
\underline V_{AB}=230\angle0^\circ,\quad \underline V_{BC}=230\angle-120^\circ,\quad \underline V_{CA}=230\angle120^\circ\text{ V}.

Passo 3

A corrente de fase do motor é \underline I_{AN}=\underline V_{AN}/\underline Z_m com \underline Z_m=7{,}07\angle45^\circ. Assim
|\underline I_{AN}|=\frac{132{,}79}{7{,}07}\approx18{,}8\text{ A},\quad \arg\underline I_{AN}=-30^\circ-45^\circ=-75^\circ,
\underline I_{AN}=18{,}8\angle-75^\circ\text{ A},
e de modo análogo \underline I_{BN}=18{,}8\angle-195^\circ\text{ A} e \underline I_{CN}=18{,}8\angle45^\circ\text{ A}.

Passo 4

Na máquina em triângulo \underline I_{AB}=\underline V_{AB}/\underline Z_{\Delta} com \underline Z_{\Delta}=11{,}18\angle-26{,}6^\circ. Logo
\underline I_{AB}=20{,}6\angle26{,}6^\circ\text{ A},\quad \underline I_{BC}=20{,}6\angle-93{,}4^\circ\text{ A},\quad \underline I_{CA}=20{,}6\angle146{,}6^\circ\text{ A}.

Passo 5

As correntes de linha da máquina isolada são \underline I_{A,\Delta}=\underline I_{AB}-\underline I_{CA}, \underline I_{B,\Delta}=\underline I_{BC}-\underline I_{AB}, \underline I_{C,\Delta}=\underline I_{CA}-\underline I_{BC}. Com isso obtém-se \underline I_{A,\Delta}\approx35{,}5\angle-3{,}8^\circ A, \underline I_{B,\Delta}\approx35{,}5\angle-123{,}8^\circ A, \underline I_{C,\Delta}\approx35{,}5\angle86{,}2^\circ A.
Então as correntes de linha totais, somando o motor, são
\underline I_A=\underline I_{AN}+\underline I_{A,\Delta}\approx45{,}3\angle-26{,}6^\circ\text{ A},
\underline I_B\approx45{,}3\angle-146{,}6^\circ\text{ A},\quad \underline I_C\approx45{,}3\angle93{,}4^\circ\text{ A}.

Passo 6

As potências são calculadas por P=3V_pI_p\cos\varphi e Q=3V_pI_p\sin\varphi.
Para o motor V_p=132{,}79, I_p=18{,}8, \varphi=45^\circ:
P_m=3\cdot132{,}79\cdot18{,}8\cdot0{,}707\approx5290\text{ W},\quad Q_m\approx5290\text{ VAr},\quad S_m\approx7481\text{ VA}.
Para a máquina V_p=230, I_p=20{,}6, \varphi=-26{,}6^\circ:
P_{\Delta}=3\cdot230\cdot20{,}6\cdot0{,}8944\approx12692\text{ W},\quad Q_{\Delta}\approx-6356\text{ VAr},\quad S_{\Delta}\approx14195\text{ VA}.
Total:
P_{tot}=17982\text{ W},\quad Q_{tot}=-1066\text{ VAr},\quad S_{tot}\approx18014\text{ VA}.

Passo 7

Com o motor desligado (só a máquina), as correntes de linha são \underline I_{A,\Delta} e \underline I_{C,\Delta}. Pelo método de dois wattímetros:
W_1=V_{AB}\,I_{A,\Delta}\cos(0^\circ-\arg I_{A,\Delta})\approx8181\text{ W},
W_2=V_{CB}\,I_{C,\Delta}\cos(-120^\circ-\arg I_{C,\Delta})\approx4511\text{ W}.

Passo 8

Com a máquina desligada (só o motor), as correntes de linha são \underline I_{AN} e \underline I_{CN}. Então
W_1=V_{AB}\,I_{AN}\cos(0^\circ-\arg I_{AN})\approx1118\text{ W},
W_2=V_{CB}\,I_{CN}\cos(-120^\circ-\arg I_{CN})\approx4172\text{ W}.

Passo 9

Com ambos ligados, as leituras somam as situações isoladas:
W_1^{tot}=8181+1118=9299\text{ W},\quad W_2^{tot}=4511+4172=8683\text{ W}.

Resposta

(a) \underline I_{AN}=18{,}8\angle-75^\circ\text{ A};\\ \underline I_{BN}=18{,}8\angle-195^\circ\text{ A};\\ \underline I_{CN}=18{,}8\angle45^\circ\text{ A}.
(b) \underline I_{AB}=20{,}6\angle26{,}6^\circ\text{ A};\\ \underline I_{BC}=20{,}6\angle-93{,}4^\circ\text{ A};\\ \underline I_{CA}=20{,}6\angle146{,}6^\circ\text{ A}.
(c) \underline I_A=45{,}3\angle-26{,}6^\circ\text{ A};\\ \underline I_B=45{,}3\angle-146{,}6^\circ\text{ A};\\ \underline I_C=45{,}3\angle93{,}4^\circ\text{ A}.
(d) motor: P=5290\text{ W};\\ Q=5290\text{ VAr};\\ S=7481\text{ VA}.
máquina: P=12692\text{ W};\\ Q=-6356\text{ VAr};\\ S=14195\text{ VA}.
total: P=17982\text{ W};\\ Q=-1066\text{ VAr};\\ S=18014\text{ VA}.
(e) W_1=8181\text{ W};\\ W_2=4511\text{ W}.
(f) W_1=1118\text{ W};\\ W_2=4172\text{ W}.
(g) W_1=9299\text{ W};\\ W_2=8683\text{ W}.

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